Определение 5.7. Точку а € А именуют внутренней точкой множества А, если у нее есть включенная в А е-ок-рестностъ, т.е. если 3U(a, е): U(a, е) С А. Из определений 5.3 и 5.7 ясно, что множество является открытым, если каждая точка этого множества является внутренней. Определение 5.8. Точку а £ М называют изолированной точкой множества М, если у этой точки существует е-окрестность, в которой нет других точек данного множества. Например, точка а € М будет изолированной для некоторого множества М точек числовой прямой R, если существует интервал, содержащий а и не содержащий более ни одной точки из М. Определение 5.9. Точку a 6 М называют граничной точкой множества А С Л/, если в любой ее ^-окрестности есть точки как принадлежащие Л, так и не принадлежащие А. Так, для множества А = [а, 6] С R точки а и 6 являются граничными. Эти точки будут граничными и для множества А = (а, 6). Множество всех граничных точек некоторого множества А С М называют границей этого множества д и обозначают дЛ. Множество без своей границы иногда зазывают его внутренностью. Определение 5.10. Точку а € М называют предельной точкой множества ЛсМ, если в любой ^-окрестности этой точки можно указать точку х € Л, отличную от самой точки а. Пример 5.2. Пусть множество А С R точек числовой прямой ограничено сверху (снизу) и пусть точка f = sup Л (# = infi4) не входит в множество Л. Покажем, что £ (rj) есть предельная точка множества А. М Проведем доказательство для точки f = sup.A. Согласно свойствам точной верхней грани для любого е > 0 существует точка х* € Л, такая, что £ причем хп / поскольку по условию £ не входит в А. Итак, в любой ^-окрестности точки £ содержится точка х* € А) отличная от т.е. { является предельной точкой для множества Л. Из определений 5.9 и 5.10 следует, что как граничная, так и предельная точки множества могут либо принадлежать этому множеству, либо не принадлежать ему. Для суждения о существовании предельных точек полезна следующая теорема Теорема 5.4 (принцип Больцано - Вейерштрасса). Характерные точки множеств,принцип Больцано - Вейерштрасса, Замкнутые множества, Компактные множества. Каждое бесконечное множество точек отрезка [а, 6] С R имеет хотя бы одну предельную точку. Заметим прежде всего, что если на отрезке [а, 6] имеется бесконечное множество А точек, то хотя бы на одной из двух половин [а, (а + 6)/2] и [(а + 6)/2, 6] этого отрезка имеется бесконечное подмножество множества А. Пользуясь этим соображением и обозначая отрезок [а, 6] через Ai, построим последовательность вложенных отрезков Ai Э Аг Э..., где каждый последующий составляет половину предыдущего и включает в себя бесконечное подмножество множества А. Согласно принципу вложенных отрезков у этих отрезков имеется общая точка хо. Покажем, что она является пре-дельной для множества А. Возьмем любую ^-окрестность U(zo»£) точки хо. Пусть натуральное число п таково, что длина отрезка Дп меньше е (достаточно выбрать п из неравенства. Этот отрезок целиком включен в U (хо, б) и содержит точку щ. Поскольку выбор значения € > 0 произволен, в силу свойства отрезка Дп получим, что любая ^-окрестность точки хо содержит точку из А, отличную от хо. Следовательно, согласно определению 5.9, хо есть предельная точка множества А. 5.4. Замкнутые множества Определение 5.11. Множество F С М называют за-мкнутьш, если оно содержит все свои предельные точки. Пример 5.3. а. Отрезок [а, 6] С R числовой прямой является замкнутым множеством, а полуинтервал [а; Ь) не замкнут, поскольку его предельная точка b не принадлежит этому полуинтервалу. б. В любом метрическом пространстве М тар с центром в точке а £ М и радиуса г является замкнутым множеством, и поэтому его называют замкнутым шаром. Действительно, возьмем любую точку xi, не принадлежащую этому шару, т.е. и покажем, что х\ не может быть предельной точкой для U. Очевидно, что в шаре с центром в точке х\ и радиуса (ri - г)/2 нет точек шара U. Если бы нашлась такая точка, то, обозначив ее через г, мы имели бы, согласно аксиоме в) из определения 5.1, а это находится в противоречии с равенством /? Связь замкнутых множеств с открытыми устанавливает следующая теорема. Теорема 5.5. Если множество F С М замкнуто, то его дополнение M\F открыто, и если множество G С М открыто, то его дополнение М \ G замкнуто. 4 Пусть F - замкнутое множество и GM\F. Докажем, что G открыто. Для этого достаточно показать, что Допустим противное, т.е. что в любой такой е-окрестности есть хотя бы одна точка из F. Она отлична от хо, поскольку Хо (F. Но тогда, по определению 5.10, хо является предельной точкой множества F. Так как F замкнуто, хо, согласно определению 5.11, должна принадлежать F, что противоречит предположению хо € G. Следовательно, множество G вместе с любой своей точкой хо содержит некоторую ^-окрестность этой точки и, по определению 5.3, является открытым. Характерные точки множеств,принцип Больцано - Вейерштрасса, Замкнутые множества, Компактные множества. Для доказательства второй части теоремы предположим, что G открыто и F = М \ G. Согласно определению 5.3 открытого множества любая точка хо G G входит в G вместе с некоторой ^-окрестностью этой точки. Таким образом, у точки хо существует ^-окрестность, в которую не входит ни одна точка, принадлежащая F, т.е. с учетом определения 5.10 хо не Может быть предельной точкой множества F. Следовательно, предельными точками F могут быть лишь точки, принадлежащие этому множеству, которое, согласно определению 5.11, будет замкнуто. Из свойств открытых множеств в метрическом пространстве и теоремы 5.5 следует утверждение. Утверждение 6.1. Объединение конечного числа замкну, тых множеств и пересечение любой совокупности замкнутых множеств являются замкнутыми множествами. 5.5. Компактные множества Пусть М - некоторое метрическое пространство и А - подмножество в М. Множество В подмножеств, таких, что образует покрытие множества АС М. Покрытие называют конечным, если оно состоит из конечного числа J подмножеств V{. Покрытие является открыты*, если все подмножества VJ открыты в М. Любое подмножество множества Б, образованное из V{€ В и включающее Л, именуют подпокрытием данного покрытия В. Пример 5.4. а. Множество интервалов (n-l,n+l)cR числовой прямой при целых значениях п 6 Z образует открытое покрытие множества R. У этого покрытия не существует подпокрытий, поскольку достаточно удалить какой-либо интервал (п-1,п+1) и соответствующая точка п не будет покрыта. б. Множество интервалов при n Е Z также является открытым покрытием R. Оно образовано из открытых подмножеств, каждое из которых меньше соответствующего подмножества предыдущего покрытия, однако оно не является подпокрытием первого покрытия, поскольку состоит из подмножеств, отличных от входящих в это первое покрытие. Определение 5.12. Множество ACM называют компактным (или просто компактом), если из любого его открытого покрытия можно выделить хотя бы одно конечное подпокрытие. Очевидно, что множество, содержащее только конечное число точек, компактно. Множество R не является компактным. В самом деле, интервалы (-п, п) С R при п € N образуют от-крыт9е покрытие R. Любое конечное число таких интервалов содержится в одном интервале конечного радиуса и, следовательно, не покрывает всего множества R. Аналогично можно показать, что множества R2, R3, Rn не компактны. Можно сформулировать также более общее положение: любое неограниченное подмножество метрического пространства не компактно. В дальнейшем будем иметь в виду только открытое покрытие множества, опуская слово „открытое". Нетрудно установить, что объединение конечного числа компактных множеств компактно. Действительно, пусть А, С С М (г = 1, п) - компактные множества и В - некоторое покрытие объединения А множеств А{. Ясно, что В является покрытием для любого Ai и в силу компактности А{ для него из В можно выбрать конечное подпокрытие. Таким образом, для всех А, из В можно выбрать п конечных подпокрытий, составляющих конечное подпокрытие множества А, а это означает, согласно определению 5.12, что А компактно. Теорема 5.6. Отрезок [а, 6] С R числовой прямой является компактным множеством. Л Пусть В - открытое покрытие отрезка [а, 6] и с - центр этого отрезка. Предположим, что из В невозможно выбрать конечное покрытие для [а, 6]. Тогда это невозможно сделать, по крайней мере, для одного из отрезков [а, с] или [с, 6], который обозначим . Разделив его на два равных, найдем отрезок [аг, 62]j который в 2 раза меньше, чем , и обладает тем же свойством, что и . Таким образом можно построить бесконечную последовательность вложенных отрезков обладающих общим свойством: ни один из них не может быть покрыт конечным числом множеств из В. Согласно принципу вложенных отрезков эти отрезки имеют хотя бы одну общую точку, которую обозначим через d. Покрытие В содержит открытое множество V С R, которому также принадлежит эта точка, причем, согласно определению 5.3 открытого множества, существует интервал (d-e, d + e), е > 0, целиком включенный в V. Отрезок имеет длину /m = (6-a)/2m и при условии 1т будет включенным в указанный интервал, а значит, и в V. В итоге пришли к противоречию: по построению отрезок не может быть покрыт конечным числом множеств из В и в то же время его можно покрыть одним из них, а именно множеством V. Это противоречие и доказывает компактность отрезка [а, 6]. Характерные точки множеств,принцип Больцано - Вейерштрасса, Замкнутые множества, Компактные множества. Можно доказать, что в К* замкнутый ограниченный параллелепипед, т.е. множество точек (a?lf Х2, ..., хп), определенных системой неравенств где, bn - конечные числа, является компактным множеством. Для этого следует использовать тот же метод последовательного деления, но по отношению к каждому из п исходных отрезков , , ..., [ап, 6П], что приведет к тому, что на каждом этапе деления количество частей параллелепипеда будет увеличиваться в 2п раз. Еще раз отметим, что и отрезок, и рассматриваемый паг раллелепипед являются ограниченными и замкнутыми множествами в соответствующих метрических пространствах R и Оказывается, что в таких метрических пространствах компактные множества полностью исчерпываются ограниченными g замкнутыми множествами. Понятия компакта (компактно-го множества) и ограниченного замкнутого множества отождествляет следующее утверждение, приводимое без доказательства. Утверждение 5.2. В метрическом пространстве Rn компактными являются только ограниченные и одновременно за^ мкнутые множества.

17. Привести пример расходящейся последовательности {x n }, для которой

lim(xn+p − xn ) = 0, p N.

18. Пусть a n {0, 1, 2, . . . , 9}, n N. Доказать, что последовательность десятичных чисел {0, a1 a2 . . . an } сходится.

2.2 Предел функции

2.2.1 Предельная точка множества

Определение 2.2.1. ПустьX - непустое подмножество множестваR . Точкаa R называется предельной точкой множестваX , если в любой окрестностиU a точкиa найдётся, по крайней мере, одна, не совпадающая сa , точка множестваX .

Определение 2.2.2. Еслиa R иU a - некоторая окрестность

точки а, то множество U a \{a} называется проколотой окрестно-

стью точки а и обозначается U a .

Если a = +∞, то U+∞ = U+∞ , если a = −∞, то U−∞ = U−∞ . С учетом сказанного определение2.2.1 принимает вид:

X 6= , X R, a R; a − предельная точка X Ua ∩ X 6= , Ua .

Лемма 2.2.1. Для того чтобыa R была предельной точкой непустого множестваX R, необходимо и достаточно, чтобы в каждой окрестности этой точки содержалось бесконечное подмножество множестваX.

Необходимость. Предположим, что a - предельная точка множества

ε0 > 0 и в проколотой ε0 -окрестности Ua (ε0 ) точки a нет точек множества X, что противоречит определению2.2.1.

Достаточность утверждения очевидна.

Пример 2.2.1. Если X =(n 1 | n N) , то предельной точкой множества X является только точка 0.

Пример 2.2.2. Если X = (0, 1), то любая точка a является

предельной точкой множества множества X.

Пример 2.2.3. Если X = N, то предельной точкой множества X является только +∞.

Как видно из примеров, предельная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать ему.

Теорема 2.29. Для того чтобы точкаa R была предельной точкой множестваX R, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность{x n } элементов множестваX , отличных отa, сходящаяся кa.

Необходимость. Пусть a – предельная точка множества X. Будем считать, что a R. Тогда в окрестности Ua (1/n), n N найдется элемент множества X\{a}, который обозначим через xn . Последователь-

ность {xn } обладает свойствами: xn X\{a}, a −n 1 < xn < a +n 1 ,n N. Из последнего получаем,что xn → a.

Достаточность. Пусть последовательность {xn } такова, что xn X, xn 6= a, xn → a. Зафиксируем произвольную окрестность Ua точки a. По определению2.1.3 предела последовательности найдётся номер N = N(Ua ) такой, что xn Ua , n > N. Учитывая, что xn X\{a}, получим,

что в Ua содержится бесконечное подмножество множества X, а значит, a – предельная точка множества X.

Теорема 2.30. Всякое бесконечное множество действительных чисел имеет по крайней мере одну предельную точку.

Пусть X – бесконечное подмножество множества R. Ясно, что существует последовательность {xn } попарно различных элементов множества X. Согласно теореме2.20 последовательность {xn } имеет по крайней мере один частичный предел. Пусть a P ({xn }). Тогда най-

дется такая подпоследовательность {xn k }, что a = lim xn k . Поскольку

xn k X, k N, и все они, кроме быть может одного, отличны от a, то a – предельная точка множества X.

Замечание. Любое конечное множество X R не имеет предельных точек.

2.2.2 Определение предела функции

В этой главе будем считать, что X - некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел, a – предельная точка множества X и вещественнозначная функция f определена на X. Поэтому всякий раз, когда в последующем будем говорить о функции f, будем подразумевать, если не оговорено нечто другое, что f: X → R.

Определение 2.2.3. ТочкаA R называется пределом функцииf: X → R в точке a (или ещё говорят, что A - предел функцииf приx стремящемся кa ), если для любой окрестностиU A точки A найдётся такая окрестностьU a точки a, что образ каждой точки

Замечание. Из определения2.2.3 предела функции следует, что на существование и величину предела функции f в точке a не влияет значение функции f в точке a, если a X; более того, функция f может быть не определена в точке a.

Учитывая определение окрестности конечной точки a R и определение окрестности бесконечных символов, замечаем, что данное выше определение предела функции в точке может быть дано в терминах

”ε − δ”.

Определение 2.2.4 (по Коши). Будем говорить, что число A R

является пределом функции f в точкеa R, если для любого числаε > 0 найдётся такое числоδ = δ(ε) > 0, что для любогоx X, удовлетворяющего условиям0 < |x−a| < δ выполняется соотношение

|f(x) − A| < ε.

Перефразируем в терминах ”ε − δ” тот факт, что lim f = +∞.

Определение 2.2.5. Будем говорить, что+∞ является пределом функции f(x) приx → −∞, если для любого числаε > 0 найдётся такое числоδ = δ(ε) > 0, что для всех точекx X, удовлетворяющих условиюx < −δ , выполняется неравенствоf(x) > ε.

Пример 2.2.4. Функция f(x) = c, x R (c R), имеет предел в

Действительно, f(x) − c = 0 , x R, поэтому |f(x) − c| = 0 < ε, ε > 0 и x R. Поэтому в каждой точке a R в определении предела функции (по Коши) в качестве δ = δ(ε) можно взять любое положительное число (для любого ε > 0).

С этой целью в единичном круге с центром в точке O рассмотрим острый угол AOB, радианной меры x (0, π 2 ). Проведём хорду AB и касательную AC к окружности в точке A. Тогда 4AOB сектор AOB 4AOC.

Сравнивая площади этих фигур, приходим к неравенству

1 2 sin x <1 2 x <1 2 tg x,

которое приводит к неравенствам (2.10). Разделим sin x на каждый из

A R UA (ε) : U0 (δ) x U0 (δ) : f(x) / UA .

Заметим, что функция sgn x в точках x 6= 0 принимает только два значения +1 и −1. Очевидно, что для любого A R в окрестность UA (1) = (A −1, A + 1) не могут попасть одновременно точки −1 и +1. Но

в любой проколотой окрестности U0 (δ) точки a = 0 есть как положительные, так и отрицательные числа x. Значит для любого δ > 0 найдется

Теорема 2.31 (Гейне). Для того чтобыA R было пределом функцииf: X → R в точкеa R, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности{x n } точекx n X\{a}, сходящейся кa, последовательность образов{f(x n )} при отображенииf сходилась кA.

Необходимость. Пусть lim f(x) = A. Согласно определению предела

UA Ua : x X ∩ Ua f(x) UA .

Если последовательность {xn } точек множества X\{a} стремится к a, то найдется номер N такой, что xn Ua при n > N. Поэтому f(xn ) UA

при n > N. На основании определения предела последовательности в R,

заключаем, что lim f(xn ) = A.

Достаточность. Пусть для любой последовательности {xn } точек из множества X \ {a}, которая сходится к a, последовательность образов {f(xn )} стремится к A. Для определённости считаем, что a R. Предпо-

ложим, что A не является пределом функции f в точке a. Тогда найдётся

1 !

такая окрестность UA точки A, что при любом n N вn -окрестности

точки a найдётся элемент xn X \ {a}, для которого что f(xn ) / UA . Ясно, что lim xn = a и f(xn ) 6→A, хотя xn X \ {a}, n N, xn → a. Полученное противоречие завершает доказательство.

Cледствие. Если существует последовательность {xn } : xn X\{a},n N, xn → a и последовательность {f(xn )} не имеет предела, то не