Площадь круга формула онлайн. Площадь круга

Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью. В свою очередь окружность - замкнутая кривая, которая состоит из бесконечного количества равноудаленных от некоторого центра точек. Круг занимает важное место в жизни человека, и во многих ситуациях вам может понадобиться узнать площадь круга.

Геометрия круга

Круг - заданное множество точек плоскости, которые удалены от центра круга на расстояние, не превышающее его радиус. Окружность - внешняя граница круга, но в случае, если радиус окружности равен нулю, то фигура превращается в точку. Круг и прямая, как и циркуль с линейкой - самые важные инструменты для геометра, ведь при помощи них легко построить любое, даже самое сложное геометрическое тело. Круг всегда очаровывал людей, и с самой древности фигура считалась символом бесконечного космоса, пространства и времени. Математики шутят, что круг - это многоугольник с бесконечным количеством углов.

Круги чрезвычайно эффективны: такие фигуры охватывают максимальную площадь для заданного периметра, соответственно, имеют минимальный периметр при охвате определенной области. Благодаря этому свойству в природе существует множество круглых объектов, которые в трехмерном пространстве преобразуются в шары или сферы. К примеру, благодаря минимизации периметра образуются такие природные объекты, как капли воды, снежные комья или целые планеты.

Большое значение в геометрии круга имеет число Пи, которое отображает отношение длины окружности к диаметру круга. Это соотношение известно геометрам с древних времен: изначально люди полагали, что неизменное для любого круга значение равно примерно 3,1. Древние вавилоняне считали, что данное соотношение равняется 25/8, а Архимед пришел к выводу, что Пи можно выразить в виде дроби 22/7. Впрочем, в Древней Греции число Пи не имело названия. До работы Леонарда Эйлера число Пи называли лудольфовым числом.

Площадь круга

Площадь круга выражается одной из самых простых математических формул:

Для подсчета площади вам необходимо узнать только радиус окружности или ее диаметр. В последнем случае формула несколько изменится:

Круг довольно часто встречается в реальной жизни. В инженерии машин и механизмов используются детали, сечения которых - круг. К примеру, в технике распространены такие цилиндрические детали, как валы, цилиндры, конденсаторы, поршни, оси и тому подобное. Круги также можно встретить в строительстве, производстве мебели, микропроцессорной технике или архитектуре, поэтому инженеры используют в своих расчетах простые формулы для определения площади круга. Рассмотрим пару абстрактных примеров.

Примеры из реальной жизни

DVD-диск

Сегодня DVD-диски утратили звание самого популярного носителя информации, но это не мешает нам измерить площадь болванки. Стандартный диск имеет отверстие диаметром 15 мм, а сама болванка имеет диаметр 120 мм. Таким образом, площадь диска Sd составит:

где So – площадь пустого отверстия.

Введем данные в форму онлайн-калькулятора и получим такие результаты:

Sb = 376,9 и So = 47,12

Выполняем несложный расчет и получаем:

Sd = 376,9 - 47,12 = 328,79

Таким образом, площадь стандартного DVD-диска составляет 328,79 квадратных миллиметров.

Основание конуса

Все мы знаем, что в основании объемного конуса лежит круг. Коническую форму имеют многие реальные объекты, к примеру, обычный дорожный конус. Если вы хотите узнать площадь основания такой фигуры, то вам достаточно замерить радиус конуса и ввести эти данные в форму калькулятора. Допустим, радиус выбранной фигуры составляет 15 см. Тогда площадь круга, лежащего в основании, будет равна:

Это означает, что площадь основания дорожного конуса составляет 94,24 квадратных сантиметров.

Заключение

Круг - фигура на плоскости, поэтому в реальной жизни круги встречаются как составные части объемных объектов, к примеру, основания цилиндрических или конических деталей, а также «плоские» объекты, как медали, диски или блинчики. Если вам необходимо подсчитать площадь круга, зная его радиус или диаметр, воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором, который быстро и точно предоставит вам результат.

Общая теория для вычисления площади круга.

Интересно, круг и окружность - это одно и то же? Оказывается, нет! В чем же их разница? Все станет ясно из определений.

Окружность - это такая фигура, которая состоит из множества всех точек плоскости и эти точки находятся от некоторой заданной точки О на определенном расстоянии. Точка О называется центром окружности . А отрезок, который соединяет центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом окружности . Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр называется диаметром окружности . Диаметр окружности равен двум радиусам.

Круг же - это плоская фигура, ограниченная окружностью.

Рисунок №1: Окружность

На рисунке №1 представлена окружность с центром О, радиусом R и диаметром D.

Длина окружности L радиуса R вычисляется по формуле:

Площадью S плоской фигуры, к которым относится и круг, называется ограниченное замкнутое пространство на плоскости. Площадь плоской фигуры показывает величину этой фигуры.

Площадь обладает несколькими свойствами:

1. Она не может быть отрицательной.

2. Если дана некоторая замкнутая область на плоскости, которая составлена из нескольких фигур, не пересекающихся друг с другом (то есть, фигуры не имеют общих внутренних точек, но вполне могут касаться друг друга), то площадь такой области равна сумме площадей составляющих ее фигур.

3. Если две фигуры равны, то и площади их равны.

4. Площадь квадрата, который построен на единичном отрезке, равна единице.

За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.

При решении задач часто используются следующие формулы вычисления площади круга:

1. Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число :

2. Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число :

3. Площадь круга возможно вычислить при известной длине окружности по формуле:

Число π= 3,14.

Пример 1: Вычислить площадь круга с радиусом R=4.

Решение:

Ответ:

Пример 2: Найти радиус окружности с площадью S=144.

Решение:

Для нахождения радиуса окружности воспользуемся формулой вычисления площади круга:

Выразим из данной формулы радиус окружности:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 3: Вычислить площадь круга с диаметром D = 10 см.

Решение:

Для нахождения площади круга воспользуемся следующей формулой вычисления площади:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 4: Найти диаметр окружности с площадью S = 121 см 2 .

Решение:

Для нахождения диаметра окружности воспользуемся формулой вычисления площади круга:

Выразим из данной формулы диаметр окружности.

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика фигуры, показывающая размер этой фигуры в квадратных единицах. Стандартное обозначение площади — буква S.

Формулы площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте .
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

2. Формула площади треугольника по трем сторонам. Формула Герона.

Площадь треугольника равна корню квадратному изпроизведения, где одним из множителей является полупериметр, а тремя другими — разность полупериметра с каждой из сторон треугольника.

S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними .
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между ними.

S = 1/2 · a · b · sin γ

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности.

Площадь треугольника равна произведению всех его сторон, поделенному на четыре радиуса описанной вокруг него окуружности.

5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности .
Площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника и радиуса вписанной окружности.

Обозначения:

S — площадь треугольника,
a, b, c — длины сторон треугольника,
h — высота треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
r — радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника.

Формулы площади квадрата

1. Формула площади квадрата по длине стороны .
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

2. Формула площади квадрата по длине диагонали .
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

Обозначения:

S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

Обозначения:

S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте.
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины, опущенной на эту сторону высоты.

S = ah

2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними .
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон, умноженному на синус угла между ними.

S = a · b · sin α

3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними .
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей, умноженному на синус угла между ними.

S = 1/2 · d 1 · d 2 · sin γ

Обозначения:

S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
h — длина высоты параллелограмма,
d 1 , d 2 — длины диагоналей параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма,

γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте .
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины, опущенной на эту сторону высоты.

S = ah

2. Формула площади ромба по длине стороны и углу .
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

S = a 2 · sin α

3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей .
Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей.

S = 1/2 · d 1 · d 2

Обозначения:

S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба,
α — угол между сторонами ромба,
d 1 , d 2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

1. Формула площади трапеции по длине оснований и высоте.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты.

S = 1/2 · (a + b) · h

2. Формула Герона для трапеции .

S = (a + b)/4|a — b| · √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)

Обозначения:

S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,

p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.

Формулы площади выпуклого четырехугольника

1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними .
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей, умноженной на синус угла между ними.

S = 1/2 · d 1 · d 2 · sin α

Обозначения:

S — площадь четырехугольника,
d 1 , d 2 — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника.

2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности).
Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности.

3. Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов.

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos 2 θ

4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность .

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Обозначения:

S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = (a + b + c + d)/2 — полупериметр четырехугольника,
θ = (α + β)/2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Формулы площади круга

1. Формула площади круга через радиус .
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса и числа пи.

2. Формула площади круга через диаметр .
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра и числа пи.

S = 1/4 · π · d 2

Обозначения:

S — площадь круга,
r — длина радиуса круга,
d — длина диаметра круга;

Формула площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса и числа пи.

Обозначения:

S — площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса;

Источники:

• ru.onlinemschool.com — формулы площади геометрических фигур;