Площадь основания пятиугольника. Площадь многоугольника: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений. Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин

• - минимальные данные, необходимые для решения задачи, а именно длина каждой стороны и диагонали пятиугольника;
• - калькулятор;
• - ручка;
• - лист бумаги.

Инструкция

Внимательно прочитайте условие поставленной задачи. Руководствуясь им, нарисуйте на листе бумаги предполагаемый пятиугольник.

Обозначьте длину каждой из его сторон.

Проведите в пятиугольнике две диагонали. Обозначьте длину каждой диагонали.

Обратите внимание на то, что получилось в результате проведения диагоналей, и вы увидите, что они разбивают пятиугольник на три различных между собой треугольника.

Из вершины каждого треугольника проведите высоту к его основанию.

Измерьте длину высоты опущенной на основание для каждого треугольника.

Определите всех трех треугольников по формуле, приведенной ниже:
S = 1/2 x H x a,
где S – вычисляемая площадь треугольника;
H – высота каждого треугольника;
a – длина основания треугольника.

Вычислите площадь пятиугольника , сложив площади этих трех треугольников.

Обратите внимание

Помните, что правильным считается тот пятиугольник, у которого и все стороны, и все углы равны между собой. Если хотя бы одна сторона или угол отличается от других, то пятиугольник не считается правильным, и его площадь нельзя рассчитывать по упрощенной схеме.

Полезный совет

Проще всего определить площадь правильного пятиугольника. Для этого достаточно просто вычислить площадь одного из треугольников, а затем умножить ее на их количество. Ведь диагонали в правильном пятиугольнике разбивают его на треугольники одинаковой площади. Значительно упрощается задача и в том случае, если два угла пятиугольника являются прямыми. Достаточно провести одну диагональ, которая разобьет пятиугольник на треугольник и прямоугольник, площади которых можно найти совсем просто. Сумма вычисленных площадей будет равна площади самого пятиугольника.

Вычисление площади многоугольникаГородская научно-практическая конференция юных исследователей
«Будущее Петрозаводска»
Вычисление площади
многоугольника
Качановская Алина Игоревна
9Б класс, г. Петрозаводск.
учитель математики
МОУ «Гимназия №30 имени Музалева Д.Н.»

Вычисление площади многоугольника

Гипотеза.
Используя координатный метод и формулу Пика, можно сократить время
для вычисления площади многоугольника.
Объект исследования – площадь многоугольника.
Предмет исследования – способы нахождения площади многоугольника.
Цель исследования: изучить методы вычисления площади по координатам
вершин и с помощью формулы Пика и научиться применять их на практике.
Задачи:
изучить теоретический материал по данной теме;
вывести формулы вычисления площади по координатам;
на практике применить данные способы для вычисления площадей
многоугольников;
сравнить результаты нахождения площади многоугольников разными
способами.
Методы исследования: изучение литературы и Интернет-ресурсов,
сравнение, обобщение, аналогия.

Вычисление площади многоугольника по координатам его вершин

Найти площадь пятиугольника АВСDE с вершинами:
А(5;7), В(1;1), С(- 4; 2), D(- 1; - 4), Е(4; - 3).
х
у
А
5
7
В
1
1
С
-4
2
D
-1
-4
Е
4
-3
А
5
7
1) Абсциссу 1 точки умножаем на
ординату 2 точки, абсциссу 2 точки - на
ординату 3 точки и так далее.
Складываем произведения:
5 ∙ 1 + 1 ∙ 2 + (-4) ∙ (-4) + (-1) ∙ (- 3) + 4∙7 = 54.
2) Ординату 1 точки умножаем на абсциссу
2 точки, ординату 2 точки - на абсциссу 3
точки и так далее.
Складываем произведения:
7 ∙ 1 + 1 ∙ (-4) + 2 ∙ (-1) + (-4) ∙ 4 + (- 3) ∙5 = - 30.
3) Из первой суммы вычитаем вторую: 54 – (- 30) = 84.
4) Полученную сумму делим на 2: 84: 2 = 42.
SABCDE = 42 кв. ед.

х
у
А1
х1
у1
А2
х2
у2
А3
х3
у3
А1
х1
у1
Треугольник А1А2А3 с координатами
вершин (х1, у1), (х2,у2) и (х3, у3).
S 0,5 (x1 y2 x2 y3 x3 y1 y1 x2 y2 x3 y3 x1)
Равенство 1

Вычисление площади треугольника

.
S A1 A2 A3 S A2 A1B1B2 S A2 A3 B3 B2 S A3 A1B1B3
(равенство 2)
Так как А1А2В2В1 трапеция, то
S = 0,5(А2В2 + А1В1) ∙ В2В1
S A2 A1B1B2 0,5 y2 y1 x1 x2 .
S A2 A3 B3 B2 0,5 y 2 y 3 x3 x 2 и
S A3 A1B1B3 0,5 y3 y1 x1 x3 .
S А1 А2 А3 0,5 у 2 у1 х1 х 2 0,5 у 2 у3 х3 х 2 0,5 у1 у 3 х1 х3
0,5 у 2 х1 0,5 у 2 х2 0,5 у1 х1 0,5 у1 х2 0,5 у 2 х3 0,5 у 2 х2 0,5 у3 х3 0,5 у3 х2 0,5 у3 х1
0,5 у3 х3 0,5 у1 х1 0,5х3 у1 0,5 х1 у 2 х2 у3 х3 у1 0,5 у1 х2 у 2 х3 у3 х1

Вычисление площади треугольника

.
S A1 A2 A3 S A2 A3 B3 B2 S A2 A1B1B2 S A1 A3 B3 B1
(равенство 3)
S A2 A3 B3 B2 0,5 y 2 y 3 x3 x 2
S A2 A1B1B2 0,5 y 2 y1 x1 x 2
S A3 A1B1B3 0,5 y 3 y1 x3 x1
Выполним алгебраические преобразования
S А1 А2 А3 0,5 у 2 у3 х3 х 2 0,5 у 2 у1 х1 х 2 0,5 у1 у 3 х3 х1
0,5 у 2 х3 0,5 у 2 х2 0,5 у3 х3 0,5 у3 х2 0,5 у 2 х1 0,5 у 2 х2 0,5 у1 х1 0,5 у1 х2 0,5 у1 х3
0,5 у1 х1 0,5 у3 х3 0,5х1 у3 0,5 х1 у 2 х2 у3 х3 у1 0,5 у1 х2 у 2 х3 у3 х1
0,5 (x1 y2 x2 y3 x3 y1 y1 x2 y2 x3 y3 x1) .

Вычисление площади треугольника

Если вершины треугольника взяты против часовой стрелки, то
Если вершины треугольника взяты по часовой стрелке, то
S 0,5 (x1 y2 x2 y3 x3 y1 y1 x2 y2 x3 y3 x1) .
S 0,5 | x1 y2 x2 y3 x3 y1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 |

ΔАВС, А(- 3; 2), В(4,5; 0,8), С(1,8; -3,5)

А
х
у
А
-3
2
С
4,5
0,8
В
1,8
-3,5
А
-3
2
В
С
S=0,5((-3∙0,8+4,5∙(-3,5)+(1,8∙2)) –
– (2∙4,5+0,8∙1,8+(-3,5) ∙(-3))=17,745

Вычисление площади четырехугольника

.
S A1 A2 A3 А4 S A1 A2 А4 S A2 A3 А4
S А1 А2 А4 0,5 (x1 y 2 x 2 y 4 x 4 y1 y1 x 2 y 2 x 4 y 4 x1)
S А2 А3 А4 0,5 (x 2 y3 x3 y 4 x 4 y 2 y 2 x3 y 3 x 4 y 4 x 2)
Выполним алгебраические преобразования
S A1 A2 A3 А4 0,5 х1 у 2 0,5 х 2 у 4 0,5 х 4 у1 0,5 у1 х 2 0,5 у 2 х 4 0,5 у 4 х1 0,5 х 2 у3 0,5 х3 у 4
0,5х4 у 2 0,5 у 2 х3 0,5 у3 х4 0,5 у 4 х2 0,5(х1 у 2 х2 у3 х3 у 4 х4 у1) 0,5(у1 х2 у 2 х3
у3 х4 у 4 х1)
S 0,5 (x1 y 2 x2 y3 x3 y 4 х4 у1 y1 x2 y 2 x3 y3 x4 у 4 х1)

10. МКРN, М(2; 4), К(-2,2; 0),Р(-2; 5,3), N(3;7)

М
N
К
Р
S = 0,5((2∙0+(-2,2) ∙5,3+(-2) ∙7+3 ∙4) –
– (4∙(-2,2)+0∙(-2)+5,3 ∙3+7 ∙2) = 17,38
x
y
M
2
4
K
-2,2
0
P
-2
5,3
N
3
7
М
2
4

11. Алгоритм вычисления площади много- угольника по координатам его вершин

Алгоритм вычисления площади многоугольника по координатам его вершин
х
у
А1
х1
у1
1). Составить таблицу (вершины – против часовой
стрелки).
А2
х2
у2
2). Выполнить вычисления по схеме:
…
…
…
Аn
хn
уn
А1
х1
у1
1. Считаем сумму произведений координат,
левого верхнего угла к правому нижнему.
2. Считаем сумму произведений координат,
соединенных стрелками, направленными от
правого верхнего угла к левому нижнему.
3. От первой суммы вычитаем вторую сумму
и результат делим пополам.
S 0,5 x1 y2 x2 y3 ... xn y1 y1 x2 y2 x3 ... yn x1 .

12. АВСDE, А(-2,4; 3), В(1,2; 0,4), С(-1,5; -4), D(-5; -4), Е(-6,2; 1,4)

А
Е
В
D
С
S=0,5((-2,4)∙1,4+(-6,2) ∙(-4) ∙(-5) ∙(-4)+
+(-1,5) ∙ 0,4+1,2∙3) – (3 ∙(6,2)+1,4 ∙(-5)+
+(-4) ∙(-1,5)+(-4)∙1,2+0,4 ∙(-2,4)) = 34,9
х
у
А
-2,4
3
Е
-6,2
1,4
D
-5
-4
С
-1,5
-4
В
1,2
0,4
А
-2,4
3

13. Вычисление площади многоугольников по формуле Пика

Площадь многоугольника, изображенного на
клетчатой бумаге:
Г
S В 1
2
Георг Пик
(1859 – 1942)
Г – количество целочисленных точек на границе
многоугольника,
В – количество целочисленных точек внутри
многоугольника.

14. Вычисление площади многоугольников по формуле Пика

1
2
Г = 6, В = 26.
S = 6: 2 + 26 – 1 = 28 (кв. ед.)
Г = 10,
В = 36.
S = 10: 2 + 36 – 1 = 40 (кв. ед.)

15. Вычисление площади многоугольников разными способами

Площадь треугольника АВС
Достраивание
По формуле Пика
По координатам вершин
S = 20 кв. ед.

16. Вычисление площади многоугольников разными способами

Площадь выпуклого
четырехугольника АВСD
Достраивание
По формуле Пика
По координатам вершин
Разбиение
S = 40 кв. ед.

17. Вычисление площади многоугольников разными способами

Площадь невыпуклого
четырехугольника АВСD
Достраивание
По формуле Пика
Разбиение
По координатам его вершин
S = 15 кв. ед.

18. Вычисление площади многоугольников разными способами

Площадь невыпуклого
семиугольника АВСDЕКМ
Достраивание
По формуле Пика
По координатам его вершин
S = 47,5 кв. ед.

19. Вычисление площади многоугольника

Представлены два способа вычисления площади многоугольника:
по координатам его вершин и по формуле Пика.
Выведена формула для вычисления площади треугольника по
координатам его вершин.
Выведена формула для вычисления площади четырехугольника по
координатам его вершин.
координатам их вершин.
Приведены примеры вычисления площадей многоугольников по
формуле Пика.
Приведены примеры вычисления площади одного и того же
многоугольника разными способами.

20. Вычисление площади многоугольника

Городская научно-практическая конференция юных исследователей
«Будущее Петрозаводска»
Вычисление площади
многоугольника
Качановская Алина Игоревна
МОУ «Гимназия №30 имени Музалева Д.Н.»,
9Б класс, г. Петрозаводск.
Руководитель Орлова Ирина Анатольевна
учитель математики
МОУ «Гимназия №30 имени Музалева Д.Н.»