Чему равна сумма геометрической прогрессии. Калькулятор геометрической прогрессии

Эта математическая программа находит \(S_n\) - сумму n первых членов геометрической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \(b_1, q \) и \(n \).
Числа \(b_1 \) и \(q \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной дроби (\(2,5 \)) и в виде обыкновенной дроби (\(-5\frac{2}{7} \)).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Числа \(b_1 \) и \(q \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \(n \) может быть только целым положительным.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \(-\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \(-1\frac{2}{3} \)

Введите числа b 1 , q, n

Найти сумму S n

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере . Последние сохранённые решения этой задачи

Эти решения созданы и сохранены пользователями на нашем сервере
с помощью этого онлайн-калькулятора.

Решение сохранено 04.05.2017 12:39:06 Решение сохранено 25.04.2017 16:34:46 Решение сохранено 09.02.2017 21:48:17 Решение сохранено 10.01.2017 17:02:42 Решение сохранено 27.11.2016 13:16:04 Немного теории. Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит. Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
где N - число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a n .

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Число a 1 называют первым членом последовательности , число a 2 - вторым членом последовательности , число a 3 - третьим членом последовательности и т. д.
Число a n называют n-м (энным) членом последовательности , а натуральное число n - его номером .

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... а 1 = 1 - первый член последовательности; а n = n 2 является n-м членом последовательности; a n+1 = (n + 1) 2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой задана последовательность

Геометрическая прогрессия

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения, получим треугольники со сторонами см и т.д. Запишем последовательность длин сторон этих треугольников:

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число

Определение.
Числовая последовательность
b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n , ...
называется геометрической прогрессией если для всех натуральных n выполняется равенство
b n+1 = b n q,
где , q - некоторое число, не равное нулю.

Из этой формулы следует, что . Число q называется знаменателем геометрической прогрессии .

По определению геометрической прогрессии

откуда

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то , т.е. каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.

Геометрическая прогрессия - ненулевая числовая последовательность, образованная в результате умножения каждого последующего члена на заданный коэффициент не равный нулю.

Определение последовательности

Прежде чем разбираться с прогрессией, следует понять определение числовой последовательности и закона, которым она задается. Вспомним натуральный ряд - первую числовую последовательность, которую мы изучаем еще в детском саду. Это целые числа, используемые для пересчета предметов. Начало выглядит так:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... n

Если каждому числу натурального ряда поставить в соответствие другое число, образованное согласно определенной формуле, мы получим новую последовательность:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 ... an

Число an - общий член последовательности и закон, образующий элементы ряда. Очевидно, что формула задания натурального ряда это просто n. Для последовательности четных чисел каждый элемент и общий член задается формулой 2n, а для нечетных - 2n − 1.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Еще одни примером работы геометрической прогрессии является эпидемическое распространение гриппа. К примеру, один больной за сутки может заразить 12 человек, каждый из 12 также заразит еще 12 человек, поэтому на второй день будет 144 больных, на третий - 1 728, а на четвертый - 20 736.

Наша программа генерирует геометрическую прогрессию выбранной величины. Для этого вам потребуется ввести значение первого члена в ячейку «Первое число», знаменатель прогрессии в ячейку «Разница (шаг)» и количество элементов последовательности в ячейку «Последнее число». После этого программа предоставит числа, соответствующие закону геометрической прогрессии.

Рассмотрим на примере Денежная игра по почте

Во времена СССР существовала афера, основанная на принципе геометрической прогрессии. Суть аферы в следующем. Люди получали письма с указанием 5 адресов и инструкцией:

• разослать по адресам по 1 рублю;
• вычеркнуть первый адрес и пятым вписать свой;
• разослать письма-приглашения с указанными адресами своим друзьям и знакомым.

Авантюристы предоставляли логичное объяснение механизма обогащения. Действительно, если приглашенные вами люди пришлют по 1 рублю, то вы вернете потраченные деньги. Пять приглашенных участников игры разошлют письма своим друзьям, в которых ваш адрес указан под номером 4. Количество таких писем уже 25, а следующая волна приглашенных пришлет вам в сумме 25 рублей. После чего 25 человек разошлют по 5 писем, где ваш адрес стоит третьим и это уже 125 конвертов по 1 рублю в каждом.

Сколько же денег обещали аферисты по окончанию круга приглашений? Ответ лежит в простой геометрической прогрессии. По их версии пройдет 5 волн приглашений с вашим адресом. Так как единицу мы не учитываем, а начинаем с 5 писем, то последнее число у нас будет равно 6. Первое, естественно, 1. Шаг нашей геометрической прогрессии составляет 5. Вбиваем эти данные в ячейки калькулятора и получаем последовательность:

1, 5, 25, 125, 625, 3125,

сумма элементов последовательности при этом составляет 3906. Именно прибыль в 3906 рублей обещали аферисты доверчивым гражданам. Естественно, что на практике все деньги уходили организаторам игры, так как на первом шаге аферисты отправляли не одно письмо, а сотни, в которых были указаны их собственные адреса. Даже если на первом шаге мошенники отправят всего 200 писем, то уже на пятом шаге в игру должны включиться 625 000 человек, а организаторы получат от них более 700 000 рублей. Дальнейшие шаги уже не имеют смысла.

Заключение

Геометрическая прогрессия часто встречается в реальности. Пользуйтесь нашим каталогом калькуляторов для решения интересных задачек или для проверки учебных примеров.

>>Математика: Геометрическая прогрессия

Для удобства читателя этот параграф строится точно по тому же плану, которого мы придерживались в предыдущем параграфе.

1. Основные понятия.

Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число называют геометрической прогрессией . При этом число 5 называют знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия - это числовая последовательность (b n), заданная рекуррентно соотношениями

Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она геометрической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно то перед вами- геометрическая прогрессия.
Пример 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
Ь 1 = 1, q = 3.

Пример 2.

Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 3.

Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 - 8, q = 1.

Заметим, что эта последовательность является и арифметической прогрессией (см. пример 3 из § 15).

Пример 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 2, q = -1.

Очевидно, что геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b 1 > 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).

Для обозначения того, что последовательность (b n) является геометрической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:

Значок заменяет словосочетание «геометрическая прогрессия».
Отметим одно любопытное и в то же время достаточно очевидное свойство геометрической прогрессии:
Если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е. является геометрической прогрессией.
У второй геометрической прогрессии первый член равен а равен q 2 .
Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за b n , то получится конечная геометрическая прогрессия
В дальнейших пунктах этого параграфа мы рассмотрим наиболее важные свойства геометрической прогрессии.

2. Формула п-го члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию знаменателем q. Имеем:

Нетрудно догадаться, что для любого номера n справедливо равенство

Это - формула n-го члена геометрической прогрессии.

Замечание.

Если вы прочли важное замечание из предыдущего параграфа и поняли его, то попробуйте доказать формулу (1) методом математической индукции подобно тому, как зто было сделано для формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Перепишем формулу n-го члена геометрической прогрессии

и введем обозначения: Получим у = mq 2 , или, подробнее,
Аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной функцией. Значит, геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию, заданную на множестве N натуральных чисел . На рис. 96а изображен график функции рис. 966 - график функции В обоих случаях имеем изолированные точки (с абсциссами х= 1, х = 2, х = 3 и т.д.), лежащие на некоторой кривой (на обоих рисунках представлена одна и та же кривая, только по-разному расположенная и изображенная в разных масштабах). Эту кривую называют экспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в курсе алгебры 11-го класса.

Вернемся к примерам 1-5 из предыдущего пункта.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Это геометрическая прогрессия, у которой Ь 1 = 1, q = 3. Составим формулу n-го члена
2) Это геометрическая прогрессия, у которой Составим формулу n-го члена

Это геометрическая прогрессия, у которой Составим формулу n-го члена
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 8, q = 1. Составим формулу n-го члена
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 2, q = -1. Составим формулу n-го члена

Пример 6.

Дана геометрическая прогрессия

Во всех случаях в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии

а) Положив в формуле n-го члена геометрической прогрессии n = 6, получим

б) Имеем

Так как 512 = 2 9 , то получаем п - 1 = 9, п = 10.

г) Имеем

Пример 7.

Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48, сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна 48. Найти двенадцатый член этой прогрессии.

Первый этап. Составление математической модели .

Условия задачи можно кратко записать так:

Воспользовавшись формулой n-го члена геометрической прогрессии, получим:
Тогда второе условие задачи (b 7 - b 5 = 48) можно записать в виде

Третье условие задачи (b 5 +b 6 = 48) можно записать в виде

В итоге получаем систему двух уравнений с двумя переменными b 1 и q.