64 x 4 1 геометрическая прогрессия. Тема: арифметическая и геометрическая прогрессии. Тема: графики фунций и их свойства

Будет расти до тех пор, пока an сохраняет положительный знак. Как только an примет отрицательное значение, Sn начнет убывать с увеличением количества слагаемых. Найдем граничное значение n0 , для которого an0 все еще сохраняет положительное значение. Для этого надо решить неравенство 207 an 0 или a1 + (n − 1)d 0 =⇒ 193 + (n − 1)(−14) 0 =⇒ n =⇒ n0 = 14. 14 Действительно, a14 = 193 − 14 · 13 = 11 > 0 и a15 = 193 − 14 · 14 = −3 < 0. Следовательно, наибольшей суммой является сумма первых 14 членов арифметической прогрессии a1 + a14 193 + 11 S14 = · 14 = · 14 = 1428 2 2 Ответ. 1428. Пример 4.2.12. Найдите сумму общих членов двух арифметических прогрессий: {389; 422; 455; . . . ; 10058} и {301; 444; 587; . . . ; 10168}. Решение. Убедимся в том, что среди членов этих прогрессий есть одинаковые. Для этого сравним общие члены каждой прогрессии. Обозначим общий член первой прогрессии an и найдем его. Для первой прогрессии d = 33 и an = 389 + (n − 1)33 = 356 + 33n. Общий член второй прогрессии bk и d = 143. Следовательно, bk = 301 + (k − 1)143 = 158 + 143k. Составим равенство an = bk , или 356 + 33n = 158 + 143k ⇐⇒ 198 + 33n = 143k ⇐⇒ 18 + 3n = 13k ⇐⇒ 18 + 3n − 12k = k. Отсюда следует, что, если k кратно 3, т.е. k = 3p, то члены с этими номерами входят в состав первой прогрессии. Общий вид этих членов получим подстановкой k = 3p в общий член второй прогрессии. Таким образом, cp = 158 + 143 · 3p = 158 + 429p. Количество общих членов в обеих прогрессиях можно найти из решения неравенства 10010 301 cp 10168 =⇒ 158 + 429p 10168 =⇒ p =⇒ 1 p 23. 429 Теперь вычислим сумму общих членов S23: c1 + c23 S23 = · 23, где c1 = 158 + 429 = 587; c23 = 158 + 429 · 23 = 10025. 2 587 + 10025 Тогда S23 = · 23 = 122038. 2 Ответ. 122038. 101 4.3 Геометрическая прогрессия Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q = 0. Это число называется знаменателем прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия может быть задана рекуррентным соотно- шением: b1 = b, bn+1 = bn · q, n ∈ N, b = 0, q = 0. Приведем примеры геометрических прогрессий: 2; 8; 32; 128; 512; . . . ; здесь b1 = 2, q = 4. 2; −8; 32; −128; 512; . . . ; здесь b1 = 2, q = −4. 1; −1; 1; −1; 1; . . . ; здесь b1 = 1, q = −1. Отметим основные свойства геометрической прогрессии. 1. Пусть {bn } – геометрическая прогрессия. Тогда ее n−й член можно задать следую- щей формулой: bn = b1 · q n−1 (4.3.1) 2. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен по модулю сред- нему геометрическому соседних членов: |bn | = bn−1 · bn+1 , n 2, (4.3.2) или b2 = bn−1 · bn+1 . n 3. Для любой геометрической прогрессии {bn } если n + m = k + l, то bn · bm = bk · bl . Действительно, используя формулу 4.3.1, запишем bn = b1 · q n−1 , bm = b1 · q m−1 , bk = b1 · q k−1 , bl = b1 · q l−1 . Тогда bn bm = b1 q n−1 · b1 q m−1 = b2 q n+m · q −2 = b2 q k+l−2 = b1 q k−1 · b1 q l−1 = bk bl . 1 1 Из этого свойства следует, что для конечной геометрической прогрессии произведение членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная. Например, если {bn } – геометрическая прогрессия и 1 n 17, то b1 · b17 = b2 · b16 = b3 · b15 = . . . = b2 . 9 Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяется формулой:   b1 (1 − q n) при q = 1 Sn = 1−q (4.3.3)  bn при q = 1 1 Геометрическая прогрессия является возрастающей, если b1 > 0 и q > 1 или b1 < 0 и 0 < q < 1. Геометрическая прогрессия является убывающей, если b1 > 0 и 0 < q < 1 или b1 < 0 и q>1. Геометрическая прогрессия является знакопостоянной, если q > 0. Геометрическая прогрессия является знакочередующейся, если g < 0. 102 Пример 4.3.1. Если сумма шести первых членов геометрической прогрессии равна 1820, а знаменатель равен 3, то сумма первого и пятого членов этой прогрессии равна 1) 164 2) 246 3) 328 4) 410 Решение. Согласно условию, b1 (1 − q 6) b1 (q 6 − 1) S6 = = = 1820, где q = 3. 1−q q−1 1820 Отсюда b1 = = 5 и b5 = b1 q 4 = 5 · 34 = 405. 364 Следовательно, b1 + b5 = 410, и выбираем ответ 4. Ответ. 4. Пример 4.3.2. Если сумма первого и шестого членов геометрической прогрессии рав- 2 на 55, а их разность равна 51 , то сумма первых шести членов этой прогрессии равна 3 95 1) 105 2) 115 3) 95 4) 3 2 Решение. Условия задачи b1 + b6 = 55 и b1 − b6 = 51 запишем в виде системы 3 уравнений: b1 (1 + q 5) = 55, 2 b1 (1 − q 5) = 51 3 1 160 b1 (1 − q 6) Решая ее, получим q = и b1 = . Тогда S6 = = 105, и выбираем ответ 1. 2 3 1−q Ответ. 1. Пример 4.3.3. В геометрической прогрессии с четным числом членов сумма всех ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Тогда знаменатель прогрессии равен 3 1) 2 2) 3 3) 4 4) 2 ∗ Решение. Пусть в прогрессии 2n членов и S2n – сумма всех членов, а Sn − сумма 2n b1 (1−q) членов, стоящих на нечетных местах. Тогда S2n = ,и 1−q b1 (1 − q 2n) Sn = b1 + b3 + · · · + b2n−1 = b1 + b1 q 2 + · · · + b1 q 2n−2 = ∗ , 1 − q2 где b1 – первый член прогрессии, а q = 1 – знаменатель прогрессии. По условию задачи ∗ b1 (1 − q 2n) b1 (1 − q 2n) S2n = 3Sn =⇒ =3 =⇒ 1 + q = 3 =⇒ q = 2 1−q 1 − q2 и выбираем ответ под номером 1. Ответ. 1. 103 Пример 4.3.4. Найдите сумму значений n или значение n, если оно единственное, для √ √ √ которых числа n − 5, 4 10n + 4 и n + 2 образуют геометрическую прогрессию Решение. Если три числа образуют геометрическую прогрессию, то по характеристи- ческому свойству ее членов квадрат среднего члена равен произведению соседних членов, т.е. √ √ √ 10n + 4 = n − 5 · n + 2 или 10n + 4 = (n − 5)(n + 2) =⇒ n2 − 13n − 14 = 0 =⇒ n1 = −1, n2 = 14. Но очевидно, что при n = −1 не существуют данные выражения, а при n = 14 данные √ числа образуют геометрическую прогрессию: 3; 2 3; 4. Ответ. 14. Пример 4.3.5. В геометрической прогрессии известны члены b1 = 1280 и b4 = 160. 5 Укажите номер k члена этой прогрессии, начиная с которого все ее члены не больше 128 b4 160 Решение. Так как = q 3 , то q 3 = = 0, 125 и q = 0, 5. b1 1280 5 Из условия bk найдем искомый номер k. 128 k−1 k−1 1 Так как bk = b1 · q = 1280 · , то 2 k−1 k−1 15 1 5 1 1 =⇒ =⇒ k − 1 15 и k 16. 2 128 · 1280 2 2 5 Следовательно, начиная с b16 , члены прогрессии не больше. 128 Ответ. 16. Пример 4.3.6. Найдите сумму значений t или значение t, если оно единственное, при котором числа 2; t + 3; 2t + 22 являются тремя последовательными членами знакочереду- ющейся геометрической прогрессии Решение. По характеристическому свойству членов геометрической прогрессии долж- но выполняться равенство (t + 3)2 = 2(2t + 22) =⇒ t2 + 2t − 35 = 0 =⇒ t1 = −7 и t2 = 5. При t = 5 имеет место знакоположительная прогрессия: 2; 8; 32. Она не соответствует заданному условию. При t = −7 имеет место знакочередующаяся геометрическая прогрессия: 2; −4; 8. Сле- довательно, t = −7. Ответ. –7. Пример 4.3.7. Найдите сумму значений k или значение k, если оно единственное, при котором числа 2k − 1; 2k + 1; 9k; k + 26 являются четырьмя последовательными членами 104 геометрической прогрессии Решение. Как следует из определения геометрической прогрессии, для четырех после- довательных членов bm , bm+1 , bm+2 , bm+3 должны выполняться соотношения bm+1 bm+2 bm+3 = = = q, bm bm+1 bm+2 где q – знаменатель прогрессии. Подставив в эти соотношения заданные числа, получим 2k + 1 9k k + 26 = = , 2k − 1 2k + 1 9k что равносильно системе уравнений   2k + 1 = 9k  2k − 1 2k + 1 14k 2 − 13k − 1 = 0 =⇒  9k = k + 26  79k 2 − 53k − 26 = 0 2k + 1 9k Очевидно, что решением этой системы является k = 1. Ответ. k = 1. Пример 4.3.8. Найдите количество значений параметра a, для которых корни урав- нений x2 − 5x + 4 = 0 и 2x = a различны и, взятые в некотором порядке, составляют геометрическую прогрессию a Решение. Из решения уравнений следует, что x1 = 1, x2 = 4 и x3 = , где a = 2 и 2 a = 8. a Числа 1, 4, являются членами геометрической прогрессии, причем порядок следова- 2 ния этих членов произволен. Возможны 6 вариантов расположения этих членов: a a a 1) x1 , x2 , x3 ; 2) x3 , x1 , x2 ; 3) x2 , x1 , x3 ; 1) 1, 4, ; 2) , 1, 4; 3) 4, 1, ; 4) x3 , x2 , x1 ; 5) x2 , x3 , x1 ; 6) x1 , x3 , x2 или a 2 2 a a 2 4) , 4, 1; 5) 4, 1; 6) 1, 4. 2 2 2 Находим значения параметра a, используя характеристическое свойство членов гео- метрической прогрессии. a Из 1) варианта (как и из 4)) следует: · 1 = 16 =⇒ a = 32. 2 a 1 Из 2) варианта (как и из 3)) следует: · 4 = 1 =⇒ a = . 2 2 a2 Из 5) варианта (как и из 6)) следует: = 4 =⇒ a = ±4. 4 Итак, существует 4 значения параметра a для решения поставленной задачи. Ответ. 4. Пример 4.3.9. Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их вто- рых членов равна –2, сумма третьих членов равна 1, а сумма четвертых членов равна 4. Найдите разность арифметической прогрессии. 105 Решение. Обозначим члены арифметической прогрессии через an , а геометрической – через bn . Тогда по условию задачи имеем: a2 + b2 = −2; a3 + b3 = 1; a4 + b4 = 4, или   a1 + d + b1 q = −2 a1 + 2d + b1 q 2 = 1  a1 + 3d + b1 q 3 = 4, где d – разность арифметической прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии. Из полученной системы уравнений надо найти d. Для этого вычтем из 2–го уравнения 1–ое, а из 3–его уравнения 2–ое: d + b 1 q 2 − b1 q = 3 d + b 1 q 3 − b1 q 2 = 3 Приравняв левые части уравнений, получим d + b1 q 2 − b1 q = d + b1 q 3 − b1 q 2 ⇐⇒ b1 q 2 − b1 q = b1 q 3 − b1 q 2 . Так как b1 = 0 и q = 0, то для q получено уравнение q 2 − 2q + 1 = 0 или q = 1. Отсюда следует, что b1 = b2 = b3 = b4 и d = 3. Ответ. 3. Пусть задана геометрическая прогрессия {bn }, знаменатель которой удовлетворяет условию 0 < |q| < 1. Сумма первых n членов этой прогрессии Sn определяется, как известно, формулой 1 − qn Sn = b1 . 1−q Однако, для убывающей прогрессии со знаменателем 0 < |q| < 1 вводится понятие суммы всех ее членов как b1 lim Sn = S = (4.3.4) n→∞ 1−q Здесь S = b1 + b1 q + b1 q 2 + . . . + b1 q n−1 + . . . – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Пример 4.3.10. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 15; 6; 12/5; 24/25; 48/125; . . . 6 2 Решение. Так как b1 = 15 и b2 = 6, то q = = < 1. Следовательно, сумма 15 5 12 24 b1 15 S = 15 + 6 + + + ... = = = 25. 5 25 1−q 1 − 2/5 Ответ. 25. Пример 4.3.11. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, 13 если b1 = 1, а каждый член, начиная со второго, в раза меньше суммы предыдущего и 6 106 последующего 6 Решение. По условию задачи b2 = (b1 + b3) или, используя представление членов 13 6 геометрической прогрессии, b1 q = (b1 + b1 q 2). Так как b1 = 0, то для знаменателя q 13 имеем уравнение 3 2 6q 2 − 13q + 6 = 0 =⇒ q1 = ; q2 = 2 3 2 Очевидно, что бесконечно убывающей геометрической прогрессии соответствует q = . 3 b1 1 Тогда сумма S = = = 3. 1−q 2 1− 3 Ответ. 3. √ Пример 4.3.12. Найдите значение выражения 5 · 3· 5· 3· 5... Решение. Запишем это выражение в виде степени с дробным показателем, а именно √ 5· 3· 5· 3· 5 . . . = 5 · 31/2 · 51/4 · 31/8 · 51/16 . . . = 51+1/4+1/16+... · 31/2+1/8+1/32+... . 1 1 Очевидно, что 1; ; ; . . . – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, для ко- 4 16 1 1 1 1 торой b1 = 1 и q = ; и; ; ; . . . – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, 4 2 8 32 1 1 для которой b1 = и q = . 2 4 1 1 4 2 Вычислим суммы S1 и S2 этих прогрессий. S1 = = и S2 = 2 = . 1 3 1 3 1− 1− 4 4 √ √ Тогда 5 · 3 · 5 · 3 · 5 . . . = 54/3 · 32/3 = 5 3 45. √ Ответ. 5 3 45. Пример 4.3.13. Найдите наименьшее число членов бесконечно убывающей геометри- 49 ческой прогрессии 8; 7; ; . . . такое, чтобы их сумма отличалась от суммы прогрессии 8 меньше, чем на 0,01 Решение. Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма S вычисля- ется по формуле b1 8 S= = = 64. 1−q 7 1− 8 Сумма n первых членов этой прогрессии Sn имеет вид n b1 (1 − q n) 8(1 − (7/8)n) 7 Sn = = = 64(1 −). 1−q 1 − 7/8 8 107 Из решения неравенства |Sn − S| < 0, 01 находим n, т.е. n n 7 7 1 |64(1 −) − 64| < 0, 01 =⇒ < 8 8 6400 Логарифмируя по основанию, например, 10, находим множество значений n, представля- ющих решение неравенства. 2lg 8 + 2 3, 806 n> ≈ ≈ 65, 6. lg 8 − lg 7 0, 058 Следовательно, для того, чтобы выполнить условие задачи, надо взять не менее 66 членов прогрессии. Ответ. 66. Пример 4.3.14. Найдите сумму первых трех членов бесконечно убывающей геометри- ческой прогрессии, если сумма всех ее членов равна 1024, а сумма первых десяти членов равна 1023 Решение. Используя формулы суммы S всех членов бесконечно убывающей геомет- рической прогрессии и суммы S10 первых десяти ее членов, получим b1 b1 (1 − q 10) S= = 1024 и S10 = = 1023. 1−q 1−q Эти соотношения рассматриваем как систему уравнений для нахождения b1 – первого члена прогрессии и q – знаменателя прогрессии.  b 1   = 1024 1−q =⇒ 1024(1 − q 10) = 1023 =⇒ 10  b1 (1 − q)  = 1023 1−q 1 =⇒ 1024 · q 10 = 1 =⇒ q = , b1 = 512. 2 3 b1 (1 − q) 1 Тогда S3 = = 2 · 512(1 −) = 896. 1−q 8 Ответ. 896. Пример 4.3.15. Найдите все значения параметра a, при которых множество решений неравенства x(x − 8) (a + 4)(|x − 4| − 4) содержит все члены некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 4,6, и положительным знаменателем Решение. Преобразуем левую часть неравенства к виду x(x − 8) = x2 − 8x + 16 − 16 = (x − 4)2 − 16 = |x − 4|2 − 16 = (|x − 4| − 4)(|x − 4| + 4). Тогда неравенство запишем следующим образом: (|x − 4| − 4)(|x − 4| − a) 0. 108 Чтобы его решить, введем новое неизвестное t = |x − 4| и получим неравенство (t − 4)(t − a) 0. Очевидно, что t должно принадлежать промежутку, соединяющему точки a и 4. Рассмотрим варианты взаимного расположения этих точек. При a = 4 t = 4 =⇒ |x − 4| = 4 и решением неравенства являются точки x1 = 0 и x2 = 8. Очевидно, что условия задачи не выполняются.   x 8 |x − 4| 4 При a > 4 4 t a =⇒ 4 |x−4| a ⇐⇒ ⇐⇒ x 0 |x − 4| a  4−a x a+4 На рис.4.3.1 показана геометрическая интерпретация решения системы Рис. 4.3.1. Геометрическая интерпретация решения системы неравенств при a > 4. Следовательно, решением исходного неравенства в этом случае являются два проме- жутка: и . Эти промежутки не содержат точку 4,6, а значит, не удовлетворяют условию задачи. При a < 4   0≤x≤8 |x − 4| 4 a t 4 и a |x − 4| 4 ⇐⇒ ⇐⇒ x a+4 |x − 4| a  x 4−a и геометрическая интерпретация решения имеет вид, показанный на рис.4.3.2. Рис. 4.3.2. Геометрическая интерпретация решения системы неравенств при a < 4. или x ∈ ∪ . Если a 0, 6, то решение неравенства содержит точки 4,6 и все положительные числа меньше 4 − a. Таким образом, это решение содержит бесконечно убывающую геометрическую про- грессию с первым членом b1 = 4, 6 и положительным знаменателем q, удовлетворяющим условию bn 4 − a, n 2. 4−a В частности, b2 4 − a =⇒ b1 q 4 − a =⇒ 0 < q < 1, если a 0, 6. 4, 6 Ответ. a ∈ (−∞; 0, 6]. 109 4.4 Задачи для самостоятельного решения 3n + 1 № 4.4.1. Последовательность {an } задана формулой своего общего члена an = . 2n + 5 12 Найдите номер члена последовательности, равного 1 37 3n − 1 № 4.4.2. Докажите, что последовательность, заданная формулой an = , моно- 5n + 4 тонно возрастающая и ограниченная 17 № 4.4.3. Докажите, что последовательность, заданная формулой an = , моно- 2n + 7 тонно убывающая и ограниченная 8n − 5 № 4.4.4. Используя определение предела, докажите, что lim =4 n→∞ 2n 1 1 1 1 № 4.4.5. Напишите формулу общего члена последовательности; ; ; ; . . . при 3 4 5 6 условии сохранения закономерности 1 1 1 1 1 № 4.4.6. Напишите формулу общего члена последовательности 1; ; ; ; ; ;... 2 6 24 120 720 при условии сохранения закономерности № 4.4.7. Если сумма первого и четвертого членов арифметической прогрессии равна 14, а ее второй член меньше пятого на 6, то сумма третьего и пятого членов прогрессии равна 1) 19 2) 20 3) 21 4) 22 № 4.4.8. Если сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 300, а четвертый член равен 21, то сумма третьего и шестого членов прогрессии равна 1) 45 2) 46 3) 47 4) 48 № 4.4.9. Если сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов арифметической прогрессии равна 10, то сумма первых двадцати членов этой прогрессии равна 1) 40 2) 50 3) 60 4) 30 № 4.4.10. Сумма всех натуральных чисел, кратных 3 и удовлетворяющих условию 27 < n 183, равна 1) 5538 2) 5535 3) 5532 4) 5529 № 4.4.11. В арифметической прогрессии сумма пятого и девятого членов равна 36. Вычислите сумму первых тринадцати членов прогрессии № 4.4.12. Сумма всех трехзначных натуральных чисел, кратных 23, равна 110

Вариант 1

1. Последовательность задана формулой а n = 2n - . Какое из следующих чисел является членом этой последовательности.

1) 2 2) 4 3) 8 4) 5

2. В угловом секторе стадиона в первом ряду 7 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 26 ряду?

1) 59 2) 57 3) 50 4) 35

3. Какое число не является членом арифметической прогрессии 4; 7; 10; 13;...

1) 31 2) 32 3) 34 4) 37

4. Запишите следующий член геометрической прогрессии 8; 4; 2; 1;…..

1) 2) 3) 4) 0

а 1 , если известно, что а 2 =18, а 3 =12.

1) 8 2) 27 3) 6 4)

Вариант 2

1. Последовательность задана формулой n -го члена. У какой из них каждый следующий член больше предыдущего?

1) a n = 4 2- n 2) a n = 3) a n = 4) a n = 2 ∙ (-4)

2. На первую клетку шахматной доски положили 1 зерно, а на каждую следующую клетку на 2 зерна больше, чем на предыдущую. Сколько всего зерен оказалось на шахматной доске?

1) 129 2) 4096 3) 4064 4) 192

3. Каким будет следующий член арифметической прогрессии 14; 2; -10; …

1) -20 2) -24 3) -22 4) 20

4. Какое число не является членом геометрической прогрессии 2; 4; 8; 16;…

1) 32 2) 128 3) 64 4) 24

5. Дана геометрическая прогрессия. Найдите а 1 , если а 2 = 8, а а 3 = 12.

1) 4 2) 16 3) 4)

Вариант 3

1. Какое число стоит на нечетном месте в арифметической прогрессии 4; 8; 12; 16;…

1) 72 2) 88 3) 124 4) 216

2. Каким будет десятичный член арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7;…

1) 21 2) 20 3) 19 4) 23

3. Первый член арифметической прогрессии равен -3. Каждый следующий член прогрессии больше предыдущего на 4. Чему равна сумма первых n -членов этой прогрессии?

1) 2) 2n 2 – 5 n 3) 2n 2 – 3n 4) -12n

4. Запишите следующий член геометрической прогрессии 2; 4; 8; 16;…

1) 32 2) 18 3) 24 4) 48

5. Дана геометрическая прогрессия. Найдите а 1 , если а 5 = -6, а а 6 = -18.

1) 3 2) - 3) 4) -3

Вариант 4

1. Какое число стоит на четном месте в арифметической прогрессии 7; 14; 21; 28;…

1) 91 2) 158 3) 118 4) 224

2. Какое число не является членом арифметической прогрессии 4; 8; 12; 16;…

1) 60 2) 64 3) 66 4) 68

3. На первой неделе нового учебного года ученик решил 11 задач, а на каждой следующей неделе он решал на 3 задачи больше, чем на предыдущей. Сколько задач решил ученик на n- й неделе нового учебного года?

1) 11 + 3 n 2) 3(11 + n ) 3) 8 + 3 n 4) 14 + 3 n

4. Какое число является членом геометрической прогрессии 1; 3; 9; 27;…

1) 30 2) 133 3) 81 4) 90

5. Дана геометрическая прогрессия а 1 = -810, а а 5 = -10. Найдите знаменатель этой прогрессии?

1) 3 2) 3) 81 4)

Вариант 5

1. Какое число не является членом арифметической прогрессии 3; 6; 9; 12;…

1) 19 2) 21 3) 30 4) 45

2. Дана арифметическая прогрессия а 1 =20, а а 7 =50. Найдите разность этой прогрессии.

1) 6 2) 10 3) 5 4) 8

3. В первом ряду трибуны стадиона 60 мест, а в каждом следующем на 2 больше. Сколько мест в ряду с номером n ?

1) 58 + 2 n 2) 62 + 2 n 3) 60 + 2 n 4) 60 - 2 n

4. Найдите седьмой член геометрической прогрессии: -0,125; 0,25;…

1) 8 2) -8 3) - 4)

5. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если а 1 =8, а q = .

1) 16,5 2) -16,5 3) - 4)

ТЕМА: ГРАФИКИ ФУНЦИЙ И ИХ СВОЙСТВА

Приведенных ниже утверждений верно?

1) k › 0, b › 0

2) k ‹ 0, b › 0

3) k › 0, b ‹ 0

4) k ‹ 0, b ‹ 0

Вариант 3

у = ах 2 + b+ с.

Укажите знаки коэффициентов а, b и с .

Вариант 4

4. На рисунке изображен график

Функции у = kх + b . Какое из

приведенных ниже утверждений верно?

1) k › 0, b › 0

2) k ‹ 0, b › 0

3) k › 0, b ‹ 0

4) k ‹ 0, b ‹ 0

5. На рисунке изображен график функции