Основы теории очередей. Теория очередей. закономерности образования очередей и способы предсказания среднего размера очереди Теория очередей математические модели очереди

Эта теория представляет особый раздел теории случайных процессов и использует, в основном, аппарат теории вероятностей. Первые публикации в этой области относятся к 20-м гг. XX в. и принадлежат датчанину А. Эрлангу, занимавшемуся исследованиями функционирования телефонных станций - типичных СМО, где случайны моменты вызова, факт занятости абонента или всех каналов, продолжительность разговора. В дальнейшем теория очередей нашла развитие в работах многих советских и зарубежных математиков.

Теория очередей, - раздел теории вероятностей, изучающий математические модели разного рода реальных массового обслуживания систем. Эти модели представляют собой случайные процессы специального вида, которые называются иногда процессами обслуживания. Чаще всего используется описательное определение этих процессов, поскольку формальное их построение оказывается весьма сложным и не всегда эффективным.

Теория массового обслуживания использует главным образом аппарат теории вероятностей. Основные задачи теории массового обслуживания обычно состоят в том, чтобы на основании "локальных" свойств рассматриваемых случайных процессов изучить их стационарные характеристики (если таковые существуют) или поведение этих характеристик за большой промежуток времени. Одна из главных конечных целей исследований в этой области состоит в выборе наиболее разумной организации систем массового обслуживания.

Системы массового обслуживания (СМО)-- это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить: Магазины, банки, ремонтные мастерские, почтовые отделения, посты технического обслуживания автомобилей, посты ремонта автомобилей, персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач, аудиторские фирмы, отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий, телефонные станции и т.д.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:

входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;

дисциплина очереди;

механизм обслуживания.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

Дисциплина очереди -- это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

• - первым пришел - первый обслуживаешься;
• - пришел последним -- обслуживаешься первым;
• - случайный отбор заявок;
• - отбор заявок по критерию приоритетности;
• - ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

• - вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
• - вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
• - конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
• - количеством и производительностью обслуживающих каналов;
• - дисциплиной очереди;
• - мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания, в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• - вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
• - вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
• - относительная и абсолютная пропускная способность системы;
• - средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
• - среднее время ожидания в очереди;
• - средняя длина очереди;
• - средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:

• - системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;
• - системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

• - длина очереди;
• - время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

По количеству каналов обслуживания СМО подразделяются на следующие группы:

Одноканальные СМО. Она состоит из одной очереди и одного устройства обслуживания. Термин "одноканальная" говорит о том, что к устройству обслуживания ведет только один путь.

Многоканальные СМО. Обслуживание очередной заявки может начаться до окончания обслуживания предыдущей заявки. Каждый канал действует как самостоятельное обслуживающее устройство.

По кругу обслуживаемых объектов различают два вида.

Замкнутые СМО. Замкнутая система массового обслуживания - это система массового обслуживания, в которой обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание. Примерами замкнутой СМО являются ремонтные мастерские, сберегательные банки.

Открытые СМО. Для открытой СМО предполагается, что исходная совокупность на столько велика, что изменение ее размеров, вследствие прибытия или возвращения обслуженной заявки в исходную совокупность не оказывает существенного влияния на вероятность появления очередной заявки. массовый обслуживание математический однофазный

Если приборы обслуживания соединяются параллельно, то такое обслуживание называется однофазным, а если приборы соединяются последовательно, то многофазным, (ряд последовательных операций).

Однофазные СМО - это однородные системы, которые выполняют одну и ту же операцию обслуживания.

Многофазные СМО - это системы, в которых каналы обслуживания расположены последовательно и выполняют различные операции обслуживания. Примером многофазной СМО являются станции технического обслуживания автомобилей.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего СМО выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

В 1953 году Г. Кендалл предложил стандартные обозначения определений, которые используются исследователями без изменений. Для однофазных СМО символика Кендалла выглядит следующим образом:

A / B / n / m 2.1

Где A и B входной поток и поток обслуживания соответственно,

n - число каналов, n 1,

m - ёмкость накопителя.

Потоки случайных событий могут иметь различный вид:

• - М - экспоненциальное распределение длительностей интервалов поступления заявок или длительностей обслуживания (индекс М от определяющего слова марковский процесс, т.е. такой, когда поведение процесса после момента времени t зависит лишь от состояния процесса в момент времени t и не зависит от поведения до момента времени t),
• - D - детерминированное распределение длительностей интервалов поступления заявок или длительностей обслуживания,
• - Ек - поток Эрланга к - го порядка для длительностей интервалов между приходами заявок или длительностей обслуживания,
• - GI - рекуррентный поток (длительности интервалов статистически независимы и имеют одинаковое распределение),
• - G - общий вид распределения.

Тогда в символах Кендалла вместо А и В подставляется символ одного из упомянутых потоков, например:

M/M/1 - экспоненциальные потоки с одним каналом обслуживания и неограниченной ёмкостью.

D/GI/5/10 - детерминированный входной поток, рекуррентный поток обслуживания, многоканальное СМО с 5 одинаковыми каналами, ёмкость накопителя 10 и т.д.

Теория массового обслуживания , или очередей (англ. queueing theory ), - раздел теории вероятностей , целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящих из неё, длительности ожидания и длины очередей . В теории массового обслуживания используются методы теории вероятностей и математической статистики .

История

Первые задачи теории массового обслуживания (ТМО ) были рассмотрены сотрудником Копенгагенской телефонной компании, ученым Агнером Эрлангом , в период между 1908 и 1922 годами. Стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.

Поток

Однородный поток

Поток заявок однороден , если:

• все заявки равноправны,
• рассматриваются только моменты времени поступления заявок, то есть факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.

Поток без последействия

Поток без последействия , если число событий любого интервала времени ( t {\displaystyle t} , ) не зависит от числа событий на любом другом не пересекающемся с нашим ( t {\displaystyle t} , t + x {\displaystyle t+x} ) интервале времени.

Стационарный поток

Поток заявок стационарен , если вероятность появления n событий на интервале времени ( t {\displaystyle t} , t + x {\displaystyle t+x} ) не зависит от времени t {\displaystyle t} , а зависит только от длины x {\displaystyle x} этого участка.

Простейший поток

Однородный стационарный поток без последействий является простейшим , потоком Пуассона .

Число n {\displaystyle n} событий такого потока, выпадающих на интервал длины x {\displaystyle x} , распределено по Закону Пуассона :

Пуассоновский поток заявок удобен при решении задач ТМО. Строго говоря, простейшие потоки редки на практике, однако многие моделируемые потоки допустимо рассматривать как простейшие.

Нормальный поток

Cтационарный поток без последействий, для которого интервалы между событиями распределены по нормальному закону, называется нормальным потоком : f (t) = 1 2 π σ t exp ⁡ − 1 2 (t − m t σ t) 2 {\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{t}}}\exp {-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-m_{t}}{\sigma _{t}}}\right)^{2}}} .

Поток Эрланга

Потоком Эрланга k {\displaystyle k} -го порядка называется стационарный поток без последействий, у которого интервалы между событиями представляют собой сумму k + 1 {\displaystyle k+1} независимых случайных величин, распределенных одинаково по экспоненциальному закону с параметром λ {\displaystyle \lambda } . При k = 0 {\displaystyle k=0} поток Эрланга является простейшим потоком.

Плотность распределения случайной величины T-интервала между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k {\displaystyle k} -го порядка равна: f k (t) = λ (λ t) k Γ (α) exp ⁡ − β t {\displaystyle f_{k}(t)={\frac {\lambda (\lambda t)^{k}}{\Gamma (\alpha)}}\exp {-\beta t}} , t > 0 , α ⩾ 1 {\displaystyle t>0,\alpha \geqslant 1} .

Гамма-поток

Гамма-потоком называется стационарный поток без последействий, у которого интервалы между событиями представляют собой случайные величины, подчиненные гамма-распределению с параметрами α {\displaystyle \alpha } и β {\displaystyle \beta } : f (t) = β α t α − 1 k ! exp ⁡ − λ t {\displaystyle f(t)={\frac {\beta ^{\alpha }t^{\alpha -1}}{k!}}\exp {-\lambda t}} , t > 0 {\displaystyle t>0} , где Γ (α) = ∫ 0 ∞ x α − 1 exp ⁡ − x d x {\displaystyle \Gamma (\alpha)=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\exp {-x}dx} .

При α = k + 1 {\displaystyle \alpha =k+1} гамма-поток является потоком Эрланга k {\displaystyle k} -го порядка.

Мгновенная плотность

Мгновенная плотность (интенсивность ) потока равна пределу отношения среднего числа событий, приходящихся на элементарный интервал времени ( t {\displaystyle t} , t + x {\displaystyle t+x} ) к длине интервала ( x {\displaystyle x} ), когда последний стремится к нулю.

или, для простейшего потока,

где M (x) {\displaystyle M(x)} равно

1. Предмет и задачи В производственной деятельности и повседневной жизни часто возникают ситуации, когда появляется необходимость в обслуживании требований или заявок поступающих в систему. Часто встречаются ситуации, в которых необходимо пребывать в ситуации ожидания. Примерами тому может служить очередь покупателей у касс большого магазина, группа пассажирских самолетов, ожидающих разрешения на взлет в аэропорте, ряд вышедших из строя станков и механизмов, поставленных в очередь для починки в ремонтном цехе предприятия и т.д. Иногда системы обслуживания обладают ограниченными возможностями для удовлетворения спроса, и это приводит к образованию очередей. Как правило, ни время возникновения потребностей в обслуживании, ни продолжительность обслуживания заранее не известны. Избежать ситуации ожидания чаще всего не удается, но можно сократить время ожидания до какого-то терпимого предела.

Предметом теории массового обслуживания являются системы массового обслуживания (СМО).Задачами теории массового обслуживания являются анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания.Одна из основных задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, например, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди.Цель изучения режима функционирования обслуживающей системы в условиях, когда фактор случайности является существенным,контролировать некоторыеколичественные показатели функционирования системы массового обслуживания. Такими показателями, в частности являются среднее время пребывания клиента в очереди или доля времени, в течение которой обслуживающая система простаивает. При этом в первом случае мы оцениваем систему с позиции «клиента», тогда как во втором случае мы оцениваем степень загруженности обслуживающей системы. Путем варьирования операционными характеристиками обслуживающей системы может быть достигнут разумныйкомпромисс между требованиями «клиентов» и мощностью обслуживающей системы.

В качестве показателей СМО могут применяться также такие величины как среднее число заявок в очереди, вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение и т.д.

Система - совокупность элементов, связей между ними и цели функционирования. Любой системе массового обслуживания характерна структура, которая определяется составом элементов и функциональными связями.

Основные элементы системы следующие:

1. Входящий поток требований (интенсивность входящего потока );

2. Каналы обслуживания (число каналов n , среднее число занятыхk , производительность );

3. Очередь требований (среднее число заявок z , среднее время пребывания одной заявкиt );

4. Выходящий поток требований (интенсивность входящего потока  ).

2. Классификация систем массового обслуживания По количеству каналов СМО подразделяют наодноканальные имногоканальные . По месту нахождения источников заявок системы массового обслуживания можно разделить на:

 закрытые – источник в системе и оказывает на нее влияние;

 открытые – вне системы и не оказывает влияния.

По фазам обслуживания СМО можно разделить на:

 однофазные – один этап обслуживания,

 многофазные – два и более этапов.

Системы массового обслуживания (СМО) по условиям ожидания делятся на два основных класса: СМО с отказами и СМО с ожиданием . В СМО с отказами заявка, поступающая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (пример - звонок по телефону). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.

СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной илинеограниченной длиной ожидания ,с ограниченным временем ожидания и т.д.

Для классификации СМО важное значение имеет дисциплина обслуживания, определяющая порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок распределения их между свободными каналами.Дисциплина обслуживания – правила, по которым действуют СМО. По этому признаку обслуживание требования может быть организованно:

1. по принципу «первый пришел – первый обслужен»;

2. по принципу «первый пришел – последним обслужен» (например, отгрузка однородной продукции со склада).

3. случайно;

4. с приоритетом. При этом приоритет может быть абсолютным (более важная заявка вытесняет обычную) иотносительным (важная заявка получает лишь «лучшее» место в очереди).

При анализе случайных процессов с дискретным состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – так называемымграфом состояний .

Пример . УстройствоS состоит из двух узлов,

каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время. Возможные состояния системы: S 0 – оба узла исправны;S 1 – первый узел ремонтируется, второй исправен;S 2 – первый узел исправен, второй ремонтируется;S 3 – оба узла ремонтируются.

3. Входящий поток требований Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений . Количество требований на обслуживание, временные интервалы между их поступлениями и длительность обслуживания случайны.Поэтому основным аппаратом описания систем обслуживания оказывается аппарат теории случайных процессов, в частности, марковских. Для исследования процессов, происходящих в этих системах, применяются методы имитационного моделирования.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-либо событий (появление новой заявки, приоритета обслуживания, окончания обслуживания).

Под случайным (стохастическим, вероятностным) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностным законом. Заявки на обслуживание в СМО обычно поступают не регулярно (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов компьютеров, поток покупателей и т.д.), образуя так называемыйпоток заявок (или требований).

Поток характеризуетсяинтенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называетсярегулярным , если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени (поток изделий на конвейере сборочного цеха).

Поток событий называетсястационарным , если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности у стационарного потока λ(i )= λ (поток автомобилей на проспекте в часы пик).

Поток событий называетсяпотоком без последствий , если для любых два непересекающихся участков времени –τ 1 иτ 2 – число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие(поток людей, входящих в метро или поток покупателей, отходящих от кассы).

Поток событийординарен , если события появляются в нем поодиночке, а не группами(поток поездов – ординарен, поток вагонов – нет).

Поток событий называетсяпростейшим , если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последствий.

Ординарный поток заявок без последствий описывается распределением (законом) Пуассона.

Простейший поток в теории массового обслуживания играет такую же роль, как и нормальный закон в теории вероятностей. Главная его особенность заключается в том, что при сложении нескольких независимых простейших потоков образуется суммарный поток, который также близок к простейшему.

Каждому событию соответствует момент t , в который это событие произошло. Т – интервал между двумя моментами времени. Поток событий – независимая последовательность моментов t .

Для простейшего потока с интенсивностью λ вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени Δt хотя бы одного события потока равна.

Ординарный поток заявок без последствий описывается распределением (законом) Пуассона с параметром λτ :

, (1)

для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии:
.

В частности, вероятность того, что за время τ не произойдет ни одного события (m =0), равна

. (2)

Пример. На автоматическую телефонную линию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью λ =1,2 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов.

Решение. а) Случайная величина Х – число вызовов за две минуты – распределена по закону Пуассона с параметром λτ =1,2·2=2,4. Вероятность того, что вызовов не будет (m =0), по формуле (2):

б) Вероятность одного вызова (m =1):

в) Вероятность хотя бы одного вызова:

4. Предельные вероятности состояний Если число состояний системы конечно и из каждого из них можно за конечное число шагов перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Рассмотрим математическое описание Марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере процесса, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния S i в S j происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями состояний λ ij (i , j =0,.1,2,3).

Так как переход системы из состояния S 0 в S 1 будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S 1 в S 0 – под воздействием потока и событий, связанных с окончанием ремонтов первого узла и т.д.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называтьразмеченным . Рассматриваемая система имеет четыре возможных состояния:S 0 ,S 1 ,S 2 ,S 3 . Назовем вероятностьюi -го состояния вероятностьp i (t ) того, что в моментt система будет находиться в состоянииS i . Очевидно, что для любого моментаt сумма вероятностей всех состояний равна единице:
.

Предельная вероятность состояния S i имеет – показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии(если предельная вероятность состояния S 0 , т.е. p 0 =0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S 0 ).

Для системыS с графом состояний, изображенном на рис. система линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим, имеет вид (также называется системойуравнений Колмогорова ):

(3)

Данная система может быть получена по размеченному графу состояний, руководствуясь правилом , согласнокоторому в левой части уравнений стоит предельная вероятность данного состояния p i , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выходящих из i -го состояния, равная сумме произведений интенсивности всех потоков, входящих из i -е состояние на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример . Найти предельные вероятности для системы, граф состояний которого изображен на рис. выше. при λ 01 =1, λ 02 =2, λ 10 =2, λ 13 =2, λ 20 =3, λ 23 =1, λ 31 =3, λ 32 =2 .

Система алгебраических уравнений для этого случая согласно (3) имеет вид:

Решив линейную систему уравнений, получим p 0 = 0,4, p 1 = 0,2, p 2 = 0,27, p 3 = 0,13; т.е. в предельном стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии S 0 (оба узла исправны), 13% в состоянии S 1 (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии S 2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% в состоянии S 3 (оба узла ремонтируются).

Определим чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме рассмотренной системы S в условиях, что в единицу времени исправная работа узла один и узла два приносит доход соответственно 10 и 6 денежных единиц, а их ремонт требует соответственно затрат 4 и 2 денежных единицы. Оценим экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Для решения этой задачи с учетом полученных значений p 0 , p 1 , p 2 , p 3 определим долю времени исправной работы первого узла, т.е. p 0 + p 2 = 0,4+0,27 = 0,67 и долю времени исправной работы второго узла p 0 + p 1 = 0,4+0,2 = 0,6. В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени равную p 1 + p 3 = 0,2+0,13 = 0,33, а второй узел p 2 + p 3 = 0,27+0,13 = 0,40. Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы равен Д =0,67·10+0,6·6–0,33·4–0,4·2=8,18 ден.ед. уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого узла будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончания ремонтов» каждого узла, т.е. теперь λ 10 =4, λ 20 =6, λ 31 =6, λ 32 =4 и система уравнений, описывающая стационарный режим системы S , будет иметь вид:

.

Решив систему получим p 0 = 0,6, p 1 = 0,15, p 2 = 0,2, p 3 = 0,05. Учитывая, что p 0 + p 2 = 0,6+0,2 = 0,8,

p 0 + p 1 = 0,6+0,15 = 0,75, p 1 + p 3 = 0,15+0,05 = 0,2, p 2 + p 3 = 0,2+0,05 = 0,25, а затраты на ремонт первого и второго узла составляют соответственно 8 и 4 ден.ед., вычислим чистый средний доход в единицу времени: Д1 =0,8·10+0,75·6–0,2·8–0,25·4=9,99 ден.ед.

Так как Д1 больше Д (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонта узлов очевидна.

5. Процесс размножения и гибели Рассматриваемый в СМО процесс размножения и гибели характеризуется тем, что если все состояния системы пронумероватьS 1 ,S 2 ,… ,S n то из состоянияS k (k < n ) можно попасть либо в состояниеS k -1 , либо в состояниеS k +1 .

Для предельных вероятностей характерна следующая система уравнений:

(4)

к которой добавляется условие:

Из этой системы можно найти предельные вероятности. Получим:

, (6)

,
, …,
. (7)

Пример. Процесс гибели и размножения представлен графом. (рис).

Найти предельные вероятности состояний.

Решение. По формуле (6) найдем
,

по (7)
,
,

т.е. в установившемся стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находиться в состоянии S 0 , 17,6% – в состоянии S 1 и 11,8% – в состоянии S 2 .

6. Системы с отказами В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

– вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

– среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Уральский Государственный Технический Университет – УПИ»

Теория очередей. Закономерности образования очередей и способы предсказания среднего размера очереди.

По дисциплине: Теория информационных процессов и систем

Екатеринбург, 2007г.

Введение.

Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях, в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешение на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах, в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах организации в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств.

В теории систем массового обслуживания обслуживаемый объект называют требованием . В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, би­летные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Системы массового отсчета с ожиданием распространены наиболее широко. Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным входящим потоком. Их можно разделить на две группы:

1) Замкнутые - системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на наладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

2) Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

Это можно изобразить так:

https://pandia.ru/text/78/375/images/image001_340.jpg" width="61" height="19">Входящий поток Очередь

Обслуживающие устройства Выходящий поток

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность тре­бований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономер­ностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также ин­тервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хоро­шо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называет­ся простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами:

1) Свойством стационарности , которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных перио­дов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

2) Отсутствия последействия , которое обуславливает взаимную не­зависимость поступления того или иного числа требований на обслужи­вание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от чис­ла требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Напри­мер, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день ме­сяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

3) Свойством ординарности, которое выражает практическую невозмож­ность одновременного поступления двух или более требований (вероят­ность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляется к нулю).

Первые математические работы по системам обслуживания появились в начале двадцатого века. Они были тесно связаны с практическими задачами, касавшимися вопросов обслуживания телефонных линий, определения оптимального количества касс и продавцов в торговых предприятиях, выработки правил расчета запасов в магазинах, достаточных для их бесперебойной работы. Среди этих работ особо важное место занимают исследования датского ученого.

1. Классическая задача Эрланга.

Рассмотрим классическую задачу Эрланга: На m одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности l . Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь поступившее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживания очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент не более одного требования.

Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x) .

За x берем время (часы, минуты и т. д.).

Предполагается, что при x ³ 0

F(x) = 1 - e- m x

где m > 0 - постоянная.

Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов возникших к тому времени в телефонном деле.

Выбор распределения вероятностей F(x) для описания деятельности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точности описывает ход интересующего нас процесса. Мы увидим, что распределение вероятностей F(x) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством:

При показательном распределении длительности обслуживания распределение деятельности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Действительно, пусть fa(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время a , продлится еще не менее чем t . В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, f0(t)=e- m t .

f 0 (a )= e - m a и f 0 (a + t )= e - m (a +1) .

А так как всегда

f0(a+t) = f0(a) fa(t), то e- m (a+t) = e- m a f0(t)

и, следовательно,

fa(t) = e- m t = fo(t).

Требуемое доказано.

Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше, чем некоторая определенная величина. Предположение распределения вероятностей F(x) приводит к тому, что значительная доля требований нуждается лишь в кратковременной операции близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением распределения вероятностей F(x) . Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга , плотность распределения которого дается формулой

где, m > 0, а k - целое положительное число.

Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение вероятностей F(x)

Обозначим для случая распределения вероятностей F(x) через h время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна

Это равенство дает нам способ оценки параметра m по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна

1. Составление уравнений.

Система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова.

Найдём те уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pk(t). Одно из уравнений очевидно, а именно для каждого t

Найдем сначала вероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:

В момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;

В момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.

Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена - имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится.

Вероятность первого из указанных событий равна

вероятность второго события

Таким образом,

Отсюда очевидным образом приходим к уравнению

Перейдем теперь к составлению уравнений для Pk(t) при k ³ 1. Рассмотрим отдельно два различных случая:

1) Пусть вначале 1 £ k < m . Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние Ek в момент t+h . Эти состояния таковы:

В момент t Ek , за время h новых требований не поступило, и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии Ek-1 , за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии Ek+1 , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна

Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние Ek за промежуток времени h имеют вероятность, равную 0(h).

Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее

равенство:

Несложные преобразования приводят нас к такому уравнению

для 1 £ k < m:

2) Подобные же рассуждения для k ³ m приводят к уравнению

Для определения вероятностей Pk(t) мы получили бесконечную систему дифференциальных уравнений. Ее решение представляет несомненные технические трудности.

2. Определение стационарного решения.

В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для t ® ¥ . Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для них обозначения Pk . Заметим, что при t ® ¥ .

Сказанное позволяет заключить, что уравнения

для стационарных вероятностей принимают следующий вид:

при 1 £ k < m

при k ³ m

К этим уравнениям добавляется нормирующее условие

Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введем обозначения:

при 1 £ k < m

при k ³ m

Система уравнений в этих обозначениях принимает такой вид:

z1 = 0, zk - zk+1 = 0 при k ³ 1

Отсюда заключается, что при всех k ³ 1 zk = 0

т. е. при 1 £ k < m

k m Pk = l Pk-1

и при k ³ m

m m Pk= l Pk-1

Введем для удобства записи обозначение

r = l / m .

Уравнение k m Pk = l Pk-1 позволяет заключить, что при 1 £ k < m

При k ³ m из уравнения m m Pk= l Pk-1 находим, что

и следовательно, при k ³ m

Остается найти P0. Для этого в подставляем выражения полученного Pk.

В результате

Так бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, находится только при условии, что

r < m

то при этом положении находим равенство

Если условие r < m не выполнено, т. е. если r ³ m, то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения P0 , расходится и, значит, P0 должно быть равно 0..gif" width="71" height="44 src=">при всех k ³ 1 оказывается Pk = 0.

Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при r ³ m с течением времени очередь стремится к ¥ по вероятности.

3. Некоторые подготовительные результаты.

Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой g . Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через P { g > t } вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk { g > t } вероятность неравенства, указанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство

P { g > t } = .

Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для пользования, приготовим некоторые необходимые нам для дальнейшего сведения.

Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна

4. Определение функции распределения длительности ожидания.

Если в момент поступления требования в очереди уже находились k - m требований, то поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены

k – m + 1 требований.

Пусть qs(t) означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего нас требования закончилось обслуживание ровно S требований. Ясно, что k ³ m имеет место равенство

Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и независящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания (т. е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна

Если все приборы заняты обслуживанием и еще имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия - стационарность, отсутствие последействия и ординарность - выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна (это можно показать и простым подсчетом)

и, следовательно,

Но вероятности Pk известны:

очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду

Из формул и следует, что , поэтому при t>0

.

Само собой разумеется, что при t<0 .

Функция имеет в точке t = 0 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.

5. Средняя длительность ожидания.

Формула позволяет находить все интересующие нас числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна

Несложные вычисления приводят к формуле

Дисперсия величины g равна

.

Формула дает среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T . За время T в систему поступает l T требований в среднем; общая потеря ими времени на ожидание в среднем равна

Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые про­демонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины . При этом мы ограничиваемся случаем Т=1 и рассматриваем лишь самые малые значения т: т = 1 и т = 2.

При т=1 в силу (20)

При р = 0,1; 0,3; 0,5; 0,9 значение приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,500; 1,633; 8,100.

При m = 2 в силу (24)

При = 0,1; 1,0; 1,5; 1,9 значение приблизительно равно 00003; 0,333; 1,350; 17,537.

Приведённые данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчёте загрузки оборудования в системах массового обслуживания.

Постановка задачи.

На станции технического обслуживания (СТО) легковых автомобилей имеется 7 рабочих мест по обслуживанию клиентов. По статистическим данным в час поступает 2 заявки на обслуживания легковых автомобилей. Среднее время обслуживания 1 заявки составляет 3 часа 24 минуты.

Если поступивший клиент застает на СТО весь рабочий персонал занятым, то он встает в очередь и ждет до тех пор, пока не освободится рабочее место.

Каждый мастер, в любой момент времени, может обслуживать не более одного клиента. Обслуженный клиент покидает СТО.

Проанализировать структуру и процесс обслуживания СТО. Для этого требуется разработать показатели эффективности систем массового обслуживания. Например, требуется знать: вероятность того, что занято или свободно k приборов; распределение вероятностей свободных или занятых приборов от обслуживания; вероятность того, что в очереди находится заданное число требований; вероятность того, что время ожидания в очереди превысит заданное. К показателям, характеризующих эффективное функционирование системы в среднем, относятся: средняя длина очереди; среднее число занятых приборов; коэффициент загрузки системы.

1. Математическая модель.

Имеем систему массового обслуживания, из n = 7 идентичных приборов, на которую поступает поток требований α = 2, интенсивностью β = 0,29411(1/ч).

При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона:

вероятность DIV_ADBLOCK97">

где https://pandia.ru/text/78/375/images/image057_47.gif" width="231 height=25" height="25">

где https://pandia.ru/text/78/375/images/image059_45.gif" width="15 height=28" height="28">.gif" width="716 height=299" height="299">

Рис.1. Требование в системе.

Пусть D t – достаточно малый промежуток времени. Вероятность того, что в СМО за время D t не поступит ни одного требования:

Вероятность того, что в СМО за время Dt поступит одно требование:

Вероятность того, что за время Dt в СМО поступит два или более требований:

Вероятность того, что за время Dt требование будет обслужено:

Вероятность того, что за время Dt будет обслужено два или более требования:

Вероятность того, что за время Dt будет обслужено одно из к требований, находящихся в системе, найдем следующим образом:

Https://pandia.ru/text/78/375/images/image069_37.gif" width="381 height=48" height="48">;

Очередь грузовиков под разгрузку на склад, ожидание клиентами банка свободного кассира. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным образом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгрузки, они не смогут выполнить столько ездок за день, сколько положено. Таким образом, принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания (больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров, больше клерков, занимающихся предварительной продажей билетов на самолеты) и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (грузовики не могут сделать лишнюю остановку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк или обращаются к другой авиакомпании из-за медленного обслуживания).  

Теория игр - это метод, используемый для оценки влияния какого-либо действия на конкурентов. Моделями теории очередей можно пользоваться в соответствии со спросом на них. Модели управления запасами помогают руководителю синхронизировать размещение заказов на ресурсы и оптимизировать их объемы, а также определять оптимальное для склада количество готовой продукции . Модели линейного программирования позволяют установить оптимальный способ распределения дефицитных ресурсов между конкурирующими потребностями в них. Имитационное моделирование - это использование устройства, которое имитирует реальный мир. В экономическом анализе используется ряд методов для определения экономического положения организации или осуществимости действия с экономической точки зрения.  

Настоятельная потребность маркетинга и. предпринимательства в целом в полном и объективном освещении рыночных процессов , в достоверном предсказании возможного развития рынка. Понятие маркетингового исследования , его роль в бизнесе и удовлетворении информационно-аналитических потребностей маркетинга. Место маркетингового исследования в разработке стратегии маркетинга , планировании маркетинга и его контроллинге. Предмет и объекты маркетингового исследования . Цели маркетингового исследования . Принципы маркетингового исследования . Два направления маркетингового исследования формализация и качественные оценки. Достоинства и недостатки каждого из них. Возможности их консолидации. Основы методологии маркетингового исследования . Особая роль статистики и эконометрики в маркетинговых исследованиях . Теория массового обслуживания (теория очередей). Понятие статистического банка (набора статистических приемов обработки информации).  

Данный метод также предусматривает разложение проблемы на части и изучение каждой из них. Важным инструментом данного метода является разработка и проигрывание с использованием количественных методов и компьютеров различных моделей решения. Разработаны и используются модели с привлечением системного подхода , исследования операций , теории игр, теории очередей, уп-  

В 60-е гг. широко применялась такая техника планирования , как оперативное исследование. Речь идет об использовании научной техники управления для анализа проблемы и оценки возможных решений. Сюда входят теория очередей, игр, имитационное моделирование . Применение той или иной модели в процессе планирования зависит от накопления и анализа объективной информации. Предполагается, что информация должна поступать в каналы управления в достаточном объеме и в нужное время. Это самый ценный актив организации.  

К числу важнейших инструментов и методов исследования операций относятся теория вероятности , метод обратных связей , линейное программирование , символическая логика, теория информации и связей, теория очередей, теория игр, теория поисков.  

Изложенные обстоятельства позволяют для моделирования науки в регионе использовать математический аппарат теории очередей. Согласно этой теории, науку можно считать системой массового обслуживания (СМО). СМО, как известно, называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок, поступающих в нее в случайные моменты времени.  

Теория очередей позволяет находить вероятности различных состояний СМО, а также устанавливать зависимости между заданными параметрами (числом каналов п, интенсивностью потока заявок Я, распределением времени обслуживания и т.д.) и характеристиками эффективности работы СМО. В качестве таких характеристик могут рассматриваться следующие  

Усовершенствуем формулы теории очередей применительно к специфике науки. Условия существования стационарного режима, по мнению автора, будут иметь место при следующих обстоятельствах  

Читатель найдет здесь доступное описание основных экономико-математических методов , построенных как на традиционном аппарате математики и логики, известном из школьных программ (дроби, проценты, уравнения, прогрессии, геометрические и логические задачи), так и на основе методов исследования операций - современном математическом аппарате , специально созданном для решения тех задач, с которыми элементарная математика не справляется. Это методы оптимизации (линейное, нелинейное и динамическое программирование), теория вероятностей и математическая статистика , теория массового обслуживания (теория очередей), метод статистических испытаний (Монте-Карло), теория игр и статистических решений, сетевое планирование.  

Наряду с элементарной математикой и логикой рассматриваются также задачи, требующие применения аппарата высшей математики, особенно в теории вероятностей и математической статистике , а также в таких сравнительно молодых методах, как математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое), теория игр и статистических решений, теория массового обслуживания (теория очередей), метод статистических испытаний (Монте-Карло), сетевое планирование.  

Если при поступлении очередной заявки все имеющиеся каналы (аппараты) оказываются занятыми, происходит сбой в обслуживании и начинает образовываться очередь. Поэтому теорию массового обслуживания называют также теорией очередей.  

Центральным понятием теории очередей является функция стоимости, равная  

Если величина N больше 1, вычисления приобретают более сложный характер. Общая формула приведена в Приложении 1, где также обсуждаются другие проблемы теории очередей. Для JV, равных 2 и 3, формулы выглядят следующим образом  

В этой главе рассмотрены различные аспекты выбора места и планировки производственных площадей . Сокращение денежных, трудовых, временных и иных затрат возможно на основе определения общей производственной мощности , а для сферы услуг - использования теории очередей (массового обслуживания) для нахождения оптимального баланса между объемом простаивающего оборудования и временем ожидания покупателя в очереди.  

В русскоязычной литературе теория очередей иногда называется теорией массового обслуживания.  

Применение М. М.-К. можно проиллюстрировать примером из области теории очередей. Предположим, надо определить, как часто и как долго придется ждать покупателям в очереди в магазине при заданной его пропускной способности (допустим, для того, чтобы принять решение , следует ли расширять магазин). Подход покупателей носит случайный характер, распределение времени подхода (так можно назвать промежуток времени между каждыми двумя приходами покупателей) может быть установлено из имеющейся информации. Время обслуживания покупателей тоже носит случайный характер, и его распределение тоже может быть выявлено. Таким образом, имеются два стохастических или случайных процесса , взаимодействие которых и создает очередь.  

Следует сказать и о терминах "Т.м.о." и "теория очередей". Во многих работах они трактуются как равнозначные, в других - теория очередей рассматривается лишь как раздел Т.м.о., поскольку последней изучаются системы не только с очередями, но и с отказами (напр., когда телефонная станция занята, очередь абонентов не образуется), а также некоторые иные.  

Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами . -СПб. Питер, 2001.-384 с.  

Статистика - наука, изучающая массовые явления и процессы, поддающиеся количественному измерению, позволяющая выявлять тенденции и закономерности общественного развития, определять пропорции и оценивать колеблемость. Эконометрия -применение экономико-математических методов анализа , измерение параметров математических выражений, характеризующих определенную социально-экономическую концепцию, моделирование сложных, многомерных процессов и явлений. Достаточно широко в маркетинге используются методы линейного и динамического программирования , приемы теории массового обслуживания (теории очередей), теории принятия решений (теории риска), теории связей (сигнальной информации о процессах, выходящих за пределы установленных параметров). Социометрия - характеристика структуры и функционирования определенных человеческих групп с помощью количественных оценок . Квалиметрия - методология количественных оценок качества товаров . Бихевиоризм - наука о вкусах и предпочтениях людей, которая помогает разобраться в процессах формирования и изме-  

Часто бывает, что запросы на обслуживание отдельных клиентов или заказы индивидуальных покупателей продукции поступают в систему случайным образом. Это так называемая проблема случайных клиентов. Единственный путь, который позволяет удовлетворять таких заказчиков, если накопление продукции и ожидание клиентов исключается, это составление внешнеориентированного расписания в сочетании с общим избытком мощности системы (избытком всех ее ресурсов). На практике такое расточительное резервирование встречается редко и поэтому части заказчиков, обращающихся в систему, приходится либо предлагать ожидание, либо отказывать, неся при этом определенные экономические             Управление качеством (1974) -- [