Аналитическая форма записи числовой последовательности. Числовые последовательности и способы их задания. Геометрическое изображение числовых последовательностей

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве всех натуральных чисел. Общий вид: а 1 ; а 2 ; а 3 ; … а n ; … (или (а n)).

Способы задания последовательностей:

1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, указывающей, как по номеру n члена последовательности вычислить его значение а.

Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью.

2. Реккурентный (индуктивный) способ: он состоит в том, что указывается правило (обычно это формула), позволяющая вычислить общий член последовательности через предыдущие, и задается несколько начальных членов последовательности. Эта формула называется реккурентным соотношением.

3. Последовательность может быть задана словесно, т.е. описанием ее членов.

При изучении последовательностей удобно использовать их геометрическое изображение. Для этого используют в основном 2 способа:

1. Т.к. последовательность (а n) есть функция, заданная на N, то ее можно изобразить как график этой функции с координатами точек (n; а n).

2. Члены последовательности (а n) можно изобразить точками х=а n .

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность (а n) называется ограниченной, если существуют числа M и m, такие, что имеет место неравенство m≤a n ≤M. В противном случае она называется неограниченной.

Существует 3 вида неограниченных последовательностей:

1. Для нее существует m и не существует M – в таком случае она ограниченная снизу и неограниченная сверху.

2. Для нее не существует m и существует M – в таком случае она неограниченная снизу и ограниченная сверху.

3. Для нее не существует ни m, ни М – в таком случае она не ограниченная ни снизу, ни сверху.

Монотонные последовательности.

К монотонным последовательностям относятся убывающие, строго убывающие, возрастающие, строго возрастающие последовательности.

Последовательность (а n) называется убывающей, если каждый предыдущий член не меньше последующего: а n +1 ≤a n .

Последовательность (а n) называется строго убывающей, если каждый предыдущий член строго больше последующего: а n >a 2 >a 3 >…>a n +1 >…

Последовательность (а n) называется возрастающей, если каждый последующий член не меньше предыдущего: а n ≤a n +1 .

Последовательность называется строго возрастающей, если каждый последующий член строго больше предыдущего: а 1

Предел числовой последовательности. Основные теоремы о пределах.

Число а называется пределом последовательности (а n), если для каждого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что для любого n>N выполняется неравенство:

|a n – a| < ε.

В этом случае пишут: lim a n = a , или a n ->a при n->∞.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.

Если последовательность имеет предел, то она ограниченная.

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Для того, чтобы число а было пределом последовательности (а n), необходимо и достаточно, чтобы а n имело представление а n =а+α n , где (α n) - бесконечно малая последовательность.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Теоремы о пределах:

1. О пределе суммы: Если последовательность (а n) и (в n) сходятся, то последовательность (а n + в n) также сходится и: lim (а n + в n) = lim а n + lim в n .

n ->∞ n ->∞ n ->∞

2. О пределе произведения: Если последовательности (а n) и (в n) сходятся, то последовательность (а n ∙ в n) также сходится и:

lim (а n ∙ в n) = lim а n ∙ lim в n .

n ->∞ n ->∞ n ->∞

Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim (са n) = с ∙ lim а n

n ->∞ n ->∞

3. Если последовательности (а n) и (в n) сходятся, то последовательность (а n /в n) также сходится и: lim (а n / в n) = (lim а n)/ (lim в n).

n ->∞ n ->∞ n ->∞

Функция. Способы задания функции.

Если каждому элементу х по какому-либо правилу f поставлен в соответствие элемент у, единственный для каждого х, то говорят, что на множестве А задана функция f со значением из множества В, и пишут: f:А->В, или у=f (х).

Пусть задана функция у=f (х). Тогда х назыв. аргументом или независимой переменной, а у – значением функции или зависимой переменной.

Множество А называют областью определения функции, а множество всех у, поставленных в соответствие хотя бы одному х – множеством значений функции. Область определения функции называют также областью значений аргумента, или областью изменения независимой переменной..

Способы задания функции:

1. Табличный способ.

2. Аналитический способ: при таком способе указывается область определения функции (множество А), и формулируется закон (задается формула), по которому каждому х сопоставляется соответствующий у.

3. Способ словесного описания.

4. Геометрический (графический) способ: задать функцию графически – значит изобразить ее график.

Введение

Последовательность Фибоначчи

Свойства последовательности Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи и золотое сечение

Задачи, связанные с последовательностью Фибоначчи

Числа Каталана

Заключение

Список литературы и других источников

Введение

Данная исследовательская работа посвящена рассмотрению некоторых числовых последовательностей, заданных рекуррентно, их свойств и задач с ними связанных. Этого материала нет в школьной программе, при изучении числовых последовательностей мы сталкиваемся с рекуррентным заданием лишь на примере арифметической и геометрической прогрессий, но изучение таких последовательностей - достаточно увлекательный процесс.

Теория по данному вопросу достаточно простая, лаконичная, пронизывающая все разделы математики, применимая как в геометрии, так и в математическом анализе. Задачи, рассмотренные в этой работе, принадлежат крупнейшим математикам. Основы этой теории были впервые опубликованы в середине восемнадцатого века. В последние годы изменился кругозор читателей математической литературы, и многие достижения в теории чисел, упоминаемые в популярной литературе, не подкреплены знаниями читателей. Поэтому хотелось бы рассмотреть одни из самых известных последовательностей, заданных рекуррентным способом, изучить их свойства и значимость в истории развития математики.

1. Последовательность Фибоначчи

Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение остротой ума их авторов, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому образованному человеку. Иначе обстоит дело с математикой средневековья. Кроме Франсуа Виета, жившего, впрочем, уже в шестнадцатом столетии, и математиков более близких нам времен, школьный курс математики не называет ни одного имени, относящегося к средним векам. Это, конечно, не случайно. Математика в эту эпоху развивалась чрезвычайно медленно, и крупных математиков тогда было очень мало.

Тем больший интерес представляет для нас сочинение "Liber abacci" ("Книга об абаке"), написанная знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci--сокращенное filius Bonacci, т. е. сын Боначчи). Эта книга, написанная в 1202 г., дошла до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.

"Liber abacci" представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими ("арабскими") цифрами. Сообщаемый в "Liber abacci" материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.

Среди многих задач он привёл следующую:

"Пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат (самца и самки), причём молодые крольчата через два месяца после рождения уже приносят приплод. Сколько кроликов появится через год, если в начале года была одна пара кроликов?"

Из условия задачи следует, что через месяц будет две пары кроликов. Через месяц приплод даст только первая пара кроликов, и получится три пары. А ещё через месяц приплод дадут и исходная пара кроликов, и пара кроликов. Появившихся два месяца тому назад. Поэтому всего будет пять пар кроликов.

Перейдем теперь от кроликов к числам рассмотрим следующую числовую последовательность:

(n): 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; …

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих членов, т. е. при всяком

> 2(n) = F(n - 1) + F(n - 2) или an = an-1 + an - 2 (1)

Такие последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих (причём равенство (1) может содержать некоторые коэффициенты перед an-1 и an - 2), часто встречаются в математике и называются рекуррентными или, по-русски, возвратными последовательностями.

Понятие возвратной последовательности является широким обобщением понятия арифметической или геометрической прогрессии. Как частные случаи оно охватывает также последовательности квадратов или кубов натуральных чисел, последовательности цифр десятичного разложения рационального числа (и вообще любые периодические последовательности), последовательности коэффициентов частного от деления двух многочленов, расположенных по возрастающим степеням х, и т. д. Отсюда видно, что с возвратными последовательностями в курсе математики средней школы приходится встречаться весьма часто. Теория возвратных последовательностей составляет особую главу математической дисциплины, называемой исчислением конечных разностей. Основы теории возвратных последовательностей были разработаны и опубликованы в двадцатых годах восемнадцатого века французским математиком Муавром и одним из первых по времени членов Петербургской Академии наук швейцарским математиком Даниилом Бернулли. Развёрнутую теорию дал крупнейший математик восемнадцатого века петербургский академик Леонард Эйлер, посвятивший возвратным последовательностям тринадцатую главу своего "Введения в анализ бесконечно-малых".

Количество слагаемых в правой части равенства (1) определяет порядок возвратной последовательности. Само равенство (1) называют уравнением возвратной последовательности.

Заметим, что по одному только рекуррентному условию нельзя вычислить члены последовательности, т. к. по такому условию можно составить бесконечно много последовательностей. Для однозначного построения последовательности необходимо задать дополнительные условия - несколько первых членов.

У последовательности Фибоначчи начальными членами являются две единицы.

До сих пор мы определяли число Фибоначчи рекуррентно, т. е. индуктивно, по их номеру. Оказывается число этой последовательности можно определить и непосредственно, аналитически - как некоторую функцию номера.

Исследуем для этого различные последовательности, удовлетворяющие соотношению (1).

Все такие последовательности будем называть решениями уравнения.

Будем обозначать буквами V, V/ и V// соответственно последовательности

v1, v2 , v3 , …

v1/ , v2/ , v3/ , …

v1// , v2// , v3// , …

Есть две простые леммы:

)Если V есть решение уравнения (1), и с - произвольное число, то последовательность cV есть также решение данного уравнения.

) Если последовательности V и V" являются решениями уравнения (1), то и их сумма также является решением данного уравнения.

Пусть теперь V/ и V// два непропорциональных решения уравнения (1), т. е. такие, что при любом постоянном С найдётся такой номер n, что

Покажем, что всякую последовательность V можно представить в виде:

C1V/ + C2V// (2), где C1 иC2 - некоторые постоянные.

Т. к. последовательности V/ иV// непропорциональны, то непропорциональны и её соответствующие члены (это утверждение можно доказать методом от противного, применив индукцию).

Теперь найдём последовательность V, она будет определена, если заданы её два начальных члена.

Чтобы V = C1V/ + C2V// , найдём такие с1 и с2, чтобы имела место система:

c1v1/ +c2v1// = v1,

c1v2/ + c2v2// = v2.

Тогда на основании двух лемм, указанных ранее, C1V/ + C2V// даст нам последовательность V.

В силу непропорциональности последовательностей, эта система будет разрешима относительно c1 и c2, каковы бы ни были при этом числа v1 , v2.

Знаменатель этих дробей не может быть равен нулю. а подставив полученные значения в C1V/ + C2V// мы и получим требуемое представление последовательности V. Для получения всех решений уравнения V = C1V/ + C2V// , нам достаточно найти два его какие-нибудь непропорциональные решения. Будем искать эти решения среди геометрических прогрессий. В соответствии с леммой №1, мы имеем право выбрать только такие прогрессии, первый член которых равен 1.

Итак. возьмём прогрессию: 1; q ; q2 ; …

Чтобы она являлась решением уравнения V = C1V/ + C2V// , необходимо. чтобы для любого n выполнялось qn - 2 + qn - 1 = qn или 1 + q = q2 .

Корни этого квадратного уравнения и .

с1 + с2 = 1 и

с1 + с2 =1

Решив эту систему, получим:

с1 =, с2 = ,

откуда V = .

Эта формула называется формулой Бине (по имени получившего её математика). Полученная формула и есть аналитическое задание последовательности Фибоначчи F(n).

2. Свойства последовательности Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи обладает рядом свойств.

Выведем выражение этих чисел через . Для этого установим связь между числами данной последовательности и следующей комбинаторной задачей.

"Найти число n - последовательностей, состоящих из нулей и единиц, в которых никакие две единицы не идут подряд".

Чтобы установить эту связь вспомним задачу о кроликах, с которой мы начали наше знакомство с последовательностью чисел Фибоначчи; сопоставим последовательности, о которой идёт речь в условии, пару кроликов по правилу: единицам соответствуют месяцы появления на свет одной из пар "предков" данной пары (включая и исходную), а нулями - все остальные месяцы. Например, последовательность 010010100010 устанавливает такую "генеалогию" - сама пара появилась в конце 11-го месяца, а её родители - в конце 7-го, "дед" - в конце 5-го, а "прадед" - в конце второго. Исходная пара кроликов зашифровывается при этом последовательностью 000000000000.

Ясно, что при этом ни в одной последовательности не могут стоять две единицы подряд - только что появившаяся пара не может, по условию, принести приплод в следующем месяце. Кроме того, при указанном правиле различным последовательностям отвечают различные пары кроликов, и обратно, две различные пары кроликов имеют разную "генеалогию", так как, каждый раз пара кроликов даёт приплод, состоящий также из одной пары.

Установленная связь показывает, что число n -последовательностей, обладающих указанным свойством, равно F(n).

Докажем теперь, что

F(n) = + ++ …+ ,

где , если n нечётно, и , если n чётно, иными словами .

Есть такая комбинаторная задача о лестнице: "Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом". Решение этой задачи можно изобразить в виде лестницы, причём нуль означает место, где ломаная идёт вправо, а единица - место, где она идёт вверх (как показано на рисунке). При этом, так как ступенек двойной высоты на лестнице нет, в последовательности не могут идти две единицы подряд. Таким образом, число последовательностей из n нулей и k единиц будет равно числу лестниц, т. е. . Число же таких последовательностей, в которые входит ровно k единиц и n - k нулей, равно . Так как при этом должно выполнятся неравенство k ≤ n - k +1, то k изменяется от 0 до . Применяя правило суммы, приходим к соотношению F(n) = + ++ …+ .

Данное равенство можно доказать иначе: по свойству сочетаний = +. Легко заметить, что последовательность чисел Фибоначчи обладает схожим свойством: F(n) = F(n - 1) + F(n - 2).

Процесс последовательных разбиений.

Заметим, что для решения комбинаторных задач часто применяют такой метод - устанавливают для задачи рекуррентное соотношение и показывают, что оно совпадает с рекуррентным соотношением для другой задачи, решение которой нам уже известно. Если при этом совпадают и начальные члены последовательностей в достаточном числе, то обе задачи имеют одинаковые решения.

Перечислим ещё свойства, которыми обладают числа последовательности Фибоначчи:

·Число Фибоначчи есть ближайшее целое число к , т. е. к n-му члену геометрической прогрессии (, первый член которой , а знаменатель равен а. (это свойство доказывается с помощью записи формулы Бине и установления того факта, что абсолютная величина разности между членом последовательности Фибоначчи и членом данной прогрессии меньше . Если использовать теорию пределов, то легко можно показать, несколько видоизменив доказательство этой теоремы, что

0.

Пользуясь доказанной теоремой, можно вычислять числа Фибоначчи при помощи таблиц логарифмов.

Вычислим например вычислим .

a = = 1,6180

14∙ - = 2,5762