Представление сходящейся последовательности через бесконечно малую. Свойства сходящихся последовательностей
Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.
Определение: Последовательность {x n } называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x n -а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {x n }.
Третий этап - это интуитивная мудрость: от 4 до 7-8 лет. Теперь он может установить некоторые отношения между явлениями, которые он воспринимает напрямую, но он борется со многими характерными трудностями, которые позволили Дж. Пиаже обратить вспять кантовскую позицию, которая поддерживает априорство определенных категорий. Таким образом, в этом возрасте в дошкольном учреждении не существует идеи сохранения вещества, вытекающего из принципа идентичности. Вот классический опыт: ребенку дается пластилин и просят сделать два равных шара.
Хотя он исходит от одинаково объявленного шара, он больше не считается одним и тем же. Ребенок не может рассматривать оба критерия: длину и ширину, и сохранение вещества не представляется необходимым. В то же время мы все еще не можем найти идею числа. Маленький ребенок делает поворот красных фишек, пока другой, но может быть меньше фишек.
В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {x n } называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³ N все элементы x n этой последовательности удовлетворяют неравенству:
Большие дети ставят под каждый синий токен красный, но если мы удалим голубые фишки, удлинив строку, они будут считать их более. Другие дети не только помещают токен под токен, но и подсчитывают: один, два, три и т.д. но если мы растянем строку, они дадут тот же ответ. Таким образом, граф, в младшем возрасте 6-7 лет, является простым наименованием имен без идеи числа. Это связано с сознанием цвета и расстояния. Затем необходимо представить все большее число размеров, в которых число включает предыдущее.
Понятие числа постепенно формируется во время первичных классов, а также в важной эволюции процесса мышления. Теперь мы наблюдаем наличие идеи сохранения, а обратимые операции проявляются в мудрости. Однако, если он сталкивается с определенными конкретными ситуациями, он может решить ряд сложных проблем, в случае абстрактных проблем ребенок, спотыкающийся по вербальному плану, не может правильно рассуждать. Пиаже говорит о фазе официальных операций. Теперь развивается способность «воображаемой дискуссии», возможности рационализации аргументов, поддерживаемых соответствующими аргументами.
При этом число а называется пределом последовательности.
Некоторые свойства сходящихся последовательностей:
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {x n }. Тогда, используя специальное представление для элементов x n сходящейся последовательности {x n }, получим x n =а+a n , x n =b+b n , где a n и b n – элементы бесконечно малых последовательностей {a n } и {b n }.
Конкретные умственные операции формируются, когда внутренние действия группируются таким образом, но их можно рассматривать в некотором смысле, когда они противоположны ему. Группы операторов обеспечивают понимание, большую пластичность и, таким образом, создают возможность решения множества проблем.
Исследования швейцарского психолога смотрятся по пути, сложность опыта, необходимого для создания и систематизации бесчисленных конкретных групп операций. Из движения, связанного с движением и восприятием, достигается возможность отражения на вербально-абстрактной плоскости, на внутреннем языке, с широкими возможностями для провидения и организации деятельности с учетом оптимальной адаптации. Как мы напомнили, кропотливые исследования Дж. Пиаже противоречат выводам Иммануила Канта, предполагая, что мы не находим в ребенке набор категорий и принципов, которые великий философ рассматривает априори.
Вычитая данные соотношения, найдем a n -b n =b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {a n -b n } имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {a n } равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.
Действительно, в своем предисловии к Критике чистого разума он также предлагает в качестве цели изучить «что и как знать интеллект и разум, независимо от какого-либо опыта». Но после упомянутых выше исследований не было бы никакого анализа! Центром тяжести аргументов Канта является существование примитивных синтетических суждений, таких как математические аксиомы. Их доказательства, наблюдаемые философом в Кенигсберге, подразумевают необходимость, которую мы не чувствуем, когда ссылаемся на законы, установленные опытом.
Исследование Пиаже показало, что то, что очевидно для взрослого, не. Только после того, как определенная интеллектуальная эволюция начинает навязываться. Некоторые принципы и аксиомы. Логика, - говорит Пиаже, становится необходимой, она совсем не. Необходимо в первые годы. Откуда возникает впечатление необходимости?
Доказательство: Пусть {x n } - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:
Где a n - элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {a n } ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |a n |£ А. Поэтому | x n | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {x n }. Теорема доказана.
Строгие в случае аксиом и математических категорий? Конечно, цифры изучаются, но в основе их конституции лежат фундаментальные действия, присущие жизни: сбор пищи, группировка того, что хорошо, установление переписки, включение в ту же самую толпу. Вот почему математические аксиомы и некоторые математические операции имеют большую запись, чем отношения, наблюдаемые между объектами и явлениями.
Роль образа в мыслительном процессе. В прошлом столетии, под влиянием ассоциационистской концепции, процесс Евангелия описывался упрощенно. Даже логограф веса Дж. Стюарта Милля считает, что суть рассуждений заключается в установлении аналогии, то есть в «ассоциации сходства». Ребенок, который ляжет в пламени, когда встречает другое пламя, но помнит через ассоциацию, что произошло, и будет стремиться к побегу. Конечно, аналогия - это процесс, способствующий творческому действию, поэтому прогресс Евангелия.
Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена, но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {x n -a} и {x n+1 -a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(x n -a) – (x n+1 -a)}={x n – x n+1 } была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |x n – x n+1 | = 2 для любого номера n.
Однако экспериментальные исследования, проведенные еще в первые годы нашего столетия, подчеркнули незначительную роль представлений в абстрактной абстракции. Главной заслугой этой демонстрации является так называемая «школа в Вирцбурге». Он утверждал, что мы можем знать только правду только в той степени, в которой мы дезинтегрировали чутко. Кильпе, все последователи Гуссерля, решил экспериментально проверить тезис феноменологии. Их метод, называемый «Экспериментальная интроспекция», состоит из следующего: просить предмет задумчивого усилия.
ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {х n } и {y n } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х n } и {y n }.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х n } и {y n }. Тогда:
x n =а+a n , y n =b+b n ,
Где {a n } и {b n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х n + y n) - (а + b) =a n +b n .
Уатт поставил его на контролируемый тест ассоциации: ответить на заданный термин с вышестоящим понятием, иногда с согласованным понятием. Буйлер изображал парадоксальные афоризмы или пословицы для интерпретации. Затем испытуемому было предложено рассказать, что произошло в его сознании во время Евангелия. В качестве метода экспериментальная интроспекция была подвергнута резкой критике со стороны современников. Вундт выдвинул классические возражения против самоанализа: его нельзя повторять в одинаковых условиях, субъекты не знают, что наблюдать, а данные все еще неясны и т.д. другие, более серьезные, были против описаний, основанных на одном методе; то эксперимент благоприятствовал гипотезе: с помощью большего количества слов, абстрактных фраз и предметов были все, психологи и философы, последователи Гуссерля.
Таким образом, последовательность {(х n + y n) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х n + y n } сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {х n } и {y n } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {х n } и {y n }.
Каковы были выводы Школы Вирцбурга? Использование понятий не предполагает представления, иногда они появляются, но иногда они не имеют подробностей. с другой стороны. Существует ряд отношений, сознание отношений: как объект напоминает другого, впечатление неспособности объяснить термин, знать его значение, его отношения со многими другими понятиями и т.д. таким образом, эти психологи подтвердили свою гипотезу, но их выводы были поставлены под сомнение из-за методологических возражений. Никифорова, занимаясь ролью представлений в восприятии фразы и художественных описаний, возобновил эмпирическую эмпирическую интроспекцию, но использовали всевозможные предметы, а также разные слова или фразы.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х n } и {y n }.Тогда:
x n =а+a n , y n =b+b n ,
Где {a n } и {b n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х n - y n) - (а - b) =a n -b n .
Таким образом, последовательность {(х n - y n) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х n - y n } сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.
Она подошла к тому же выводу с психологами в Вирцбурге: когда они произносили разные слова, только 18% испытуемых подтвердили появление образа. и она обнаружила наличие взглядов, «интеллектуальных чувств»: чувство новизны, доказательств, ложности, ожидающих разъяснений.
Речь идет о глобальных, недифференцированных состояниях, которые передают понятия и играют ведущую роль в мудрости. Никифорова делает следующие выводы: когда слова хорошо известны, они не вызывают никакого образа в сознании. Если термин неясен, используются конкретные воспоминания. Например, человек не знает, что означает «цветная капуста», и говорит: «Я помню: у него листья, как капуста». Когда речь заходит о литературных текстах, где накладываются персонажи, настроения, пейзажи, автор намеренно прибегает к выражениям, которые обновляют изображения и даже предлагают новые изображения.
ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {х n } и {y n } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х n } и {y n }.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х n } и {y n }, то x n =а+a n , y n =b+b n и x n× y n =a× b+a× b n +b× a n +a n× b n . Следовательно,
Изображения играют важную роль на ранних этапах формирования мудрости. Они действуют в основном в форме воображаемых действий, как мы показали выше. Самая важная поддержка энтузиазма, начиная с 1 года и 6 месяцев, - это деятельность речи, языка. Он становится неразрывной деятельностью, связанной с абстрактной мыслью, которая в значительной степени представляет собой воображаемую дискуссию. Конечно, слова - это такие образы: аудиторские, кинестетические, визуальные, но они прочно кристаллизуются и следуют в логическом смысле, а не в законах ассоциации.
x n× y n -а× b=a× b n +b× a n +a n× b n .
(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a× b n +b× a n +a n× b n } бесконечно малая, и поэтому последовательность {x n× y n -а× b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {x n× y n } сходится и имеет своим пределом число а× b. Теорема доказана.
Роль языка была доказана экспериментально не только посредством самоанализа. Затем он попросил тех же людей сделать те же расчеты и сформулировать закон, но только по этому поводу. Кривые были аналогично похожи. Понятие психологически. Павлова, мозг имеет тенденцию объединяться, группировать стимулы. Он востребован потребностями адаптации, жизни и возможен благодаря желанию. Группировка выполняется сначала между объектами, которые служат одной и той же цели: вишни, хорошо поесть, сгруппированы отдельно от гальки, которые не хороши.
Категорию не нужно путать с более сложной концепцией, хотя она может привести. Не для этой же цели, например, категория «предметы одежды» состоят из специальных предметов: блузка, чулки, обувь и т.д. утилита всегда заставляет нас группировать существ или объекты. Маленькие дети даже полезны: «Лошади едут». Поэтому члены категории необязательно группируются по подобию, причем критерием является предмет, предметом которого является субъект. Рыбак, готовясь к рыбалке, кладет в свой багаж или что-то еще, что он может использовать: иглу, приманку, стул и т.д.
ЛЕММА: Если последовательность {y n } сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.
Доказательство: Пусть . Так как b¹ 0, то e >0. Пусть N – номер, соответствующий этому e , начиная с которого выполняется неравенство:
|y n -b| Из этого неравенства следует, что при n³
N выполняется неравенство |y n |>. Поэтому при n³
N имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана. Одним из важных результатов классификации является формирование когнитивных схем. Мы определили схему как связь между классом стимулов и одной из реакций - но это всего лишь атом в психической архитектуре. Эти схемы сгруппированы, образуя обширные структуры. Когнитивные схемы состоят из общих информационных структур, активируемых одновременно, что соответствует сложным ситуациям в реальности. Они представляют элементы ситуации в их взаимоотношениях, поскольку они находятся в контексте. Наша планировка гостиной отличается от кухни, но не относится к конкретной гостиной. ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {x n } и {y n } при условии, что предел {y n } отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x n } и {y n }. Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {y n } отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {x n } и {y n }. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как x n =а+a
n , y n =b+b
n , то Он включает в себя сознание незаменимых элементов: стол, стулья, лампу, но не включает определенную массу или определенное количество мест. Схемы показывают определенную ситуацию тем, что у них есть. Это будет «жесткое ядро» схемы, что создает возможность использования переменных элементов в зависимости от конкретных случаев. Когнитивные схемы образуют блоки унитарного знания, с некоторой автономией от другой информации. Они не просто ссылаются на характеристики некоторых ситуаций, они могут кристаллизовать обычную последовательность некоторых событий, поведения, в данном случае мы говорим о сценарии. Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана. Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {x n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству x n³
b (x n£
b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а³
b (a£
b). Доказательство: Пусть все элементы x n , по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n³
b. Предположим, что а |x n -a| Это неравенство эквивалентно -(b-a) Используя правое из этих неравенств мы получим x n Элементы сходящейся последовательности {x n } могут удовлетворять строгому неравенству x n >b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если x n =1/n, то x n >0, однако . Следствие 1: Если элементы x n и у n у сходящихся последовательностей {x n } и {y n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n £
у n , то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству Элементы последовательности {y n -x n } неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {x n } находятся на сегменте , то и ее предел с также находится на этом сегменте. Это выполняется, так как а£
x n£
b, то a£
c£
b. ТЕОРЕМА: Пусть {x n } и {z n }- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y n }удовлетворяют неравенствам x n£
y n£
z n . Тогда последовательность {y n } сходится и имеет предел а. Доказательство: достаточно доказать, что {y n -a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства x n -а £
y n -а £
z n -а. Отсюда следует, что при n³
N’ элементы последовательности {y n -a} удовлетворяют неравенству |y n -a| £
max {|x n -a|, |z n -a|}. Так как и , то для любого e
>0 можно указать номера N 1 и N 2 такие, что при n³
N 1 |x n -a| Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей. И того, что . ЗАДАЧА № 1 Пусть числовая последовательность а 1 , а 2 , а 3 , … удовлетворяет условию (m, n = 1, 2, 3, …), тогда последовательность должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани. Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань a
конечна. Пусть e
>0 и a
+e
. Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а 0 =0, имеем:
. Разобьем числовую прямую на l интервалов точками -¥
, m+d
, m+2d
, …, M-2d
, M-d
, +¥
. Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |s n -s n+1 | ЗАДАЧА № 4 Пусть для последовательности t 1 , t 2 , … , t n , … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел …, что для каждого n Тогда числа t 1 , t 2 , … , t n , …лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами. Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу. ЗАДАЧА № 5 Пусть v 1 , v 2 , … , v n , … - положительные числа, v 1 £
v 2 £
v 3 … Совокупность предельных точек последовательности заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу). ЗАДАЧА № 6 Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член. Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших. ЗАДАЧА № 7 Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой. При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности. ЗАДАЧА № 8 Пусть l 1 , l 2 , l 3 , … , l m , … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых l n меньше всех предшествующих ему членов последовательности l 1 , l 2 , l 3 , … , l n-1 . Пусть задано целое положительное число m и h
– наименьшее из чисел l 1 , l 2 , l 3 , … , l m ; h
>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h
. Пусть n – наименьший номер, для которого l n n>m; l n ЗАДАЧА № 9 Пусть l 1 , l 2 , l 3 , … , l m , … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых l n превосходит все следующие за ним члены l n+1 , l n+2 , l n+3 ,… ЗАДАЧА № 10 Пусть числовые последовательности l 1 , l 2 , l 3 , … , l m , … (l m >0), s 1 , s 2 , s 3 , … , s m , … (s 1 >0, s m+1 >s m , m=1, 2, 3, …) обладают тем свойством, что Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства l n >l n+1 , l n >l n+2 , l n >l n+3 , … l n s n >l n-1 s n-1, l n s n >l n-2 s n-2, … l n s n >l 1 s 1, Будем называть l m “выступающим” членом последовательности, если l m больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут: Каждый невыступающий член l v заключается (для v>n 1) между двумя последовательными выступающими членами, скажем n r-1 значит
все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, L n) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном. Ответ:
Последовательность называетсяограниченной
сверху,
если существует такое число ,
что для любого номера, Последовательность называетсяограниченной
снизу,
если существует такое число ,
что для любого номера, Последовательность называетсяограниченной,
если она ограниченная сверху и ограниченная
снизу, то есть существует такое число ,
что для любого номера, Последовательность называетсянеограниченной,
если существует такое число ,
что существует такой номер,
что Теорема
об ограниченности сходящейся
последовательности Если
последовательность имеет конечный
предел, то последовательность ограничена. Определение.
Числовая последовательность {xn}
ограничена, если существует такое
конечное число К, что для всех n выполнено d
(xn, a) < K. Доказательство.
Пусть N:
n > N: d (xn, a) < 1. Внутри
окрестности радиуса R = 1 бесконечное
число точек, а вне этой окрестности
конечное число точек, допустим, что это
точки x1, x2, … xN. Выберем число тогда
уже для всех n будет выполнено d
(xn, a) < K. 17.переход
к приделу в неравенстве(2 теоремы).
Единственность предела. Теорема о сжатой
переменной
. Ответ:
Пусть заданы две последовательности и.
Еслии,
начиная с некоторого номера,,
то выполняется неравенство: (Принцип
двустороннего ограничения, теорема о
двух милиционерах, теорема сжатия,
правило сэндвича, теорема о трех струнах). Если и
существует номер,
что для любоговыполняется
неравенство,
топоследовательность сходится,
причем Единственность
предела последовательности Докажем
теорему о единственности предела
последовательности. Теорема
1. Последовательность
точек расширенной числовой прямой может
иметь на этой прямой только один предел. ТЕОРЕМА
№6: (о
сжатой переменной). Пусть,
начиная с некоторого ,
выполняются неравенства Доказательство: Возьмём
любое ,
по определению предела начиная с
некоторого номерабудут
выполняться неравенства: В
силу неравенств (*) выполняется
неравенство (начиная с некоторого
номера ): Это
и означает, что переменная имеет
пределом. Ответ:
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И ИХ СВОЙСТВА Функция
α(х)
называется бесконечно
малой при ,
если, т.
е. для любого числа ε > 0 существует
такое число δ > 0, что для всех х,
удовлетворяющих неравенству выполняется
неравенство Бесконечно
малую функцию α(х)
называют бесконечно
малой величиной или
просто бесконечно
малой. Функция f (х)
называется ограниченной при ,
если существуют положительные числаМ и
δ, такие, что при условии
,
выполняется неравенство. Например,
любая бесконечно малая α(х)
является ограниченной функцией
при . В
дальнейшем будем рассматривать
бесконечно малые при . Свойства
бесконечно малых. 1.
Если функции иявляются
бесконечно малыми, то функциятакже
есть бесконечно малая. Это свойство
распространяется на случай алгебраической
суммы любого конечного числа бесконечно
малых. 2.
Произведение ограниченной при функции
на бесконечно малую есть функция
бесконечно малая. 3.
Произведение постоянной на бесконечно
малую есть бесконечно малая. 4.
Произведение двух бесконечно малых
есть бесконечно малая. Это свойство
распространяется на любое конечное
число бесконечно малых. Последовательность,
у которой существует предел, называется
сходящейся. ТЕОРЕМА:
Сходящаяся последовательность имеет
только один предел. Доказательство:
Пусть a и b – пределы сходящейся
последовательности {x n }.
Тогда, используя специальное представление
для элементов x n сходящейся
последовательности {x n },
получим x n =а+a n ,
x n =b+b n ,
где a n и
b n –
элементы бесконечно малых последовательностей
{a n }
и {b n }. Вычитая
данные соотношения, найдем a n -b n =b-a.
Так как все элементы бесконечно малой
последовательности {a n -b n }
имеют одно и то же постоянное значение
b-a, то (по теореме: Если все элементы
бесконечно малой последовательности
{a n }
равны одному и тому же числу с, то с=0)
b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана. ТЕОРЕМА:
Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство:
Пусть {x n }
- сходящаяся последовательность и а –
ее предел. Представим ее в следующем
виде: где
a n -
элемент бесконечно малой последовательности.
Так как бесконечно малая последовательность
{a n }
ограничена (по теореме: Бесконечно малая
последовательность ограничена.), то
найдется такое число А, что для всех
номеров n справедливо неравенство
|a n |£А.
Поэтому | x n |
£ |a| + A для всех номеров n, что и означает
ограниченность последовательности
{x n }.
Теорема доказана. Ограниченная
последовательность может и не быть
сходящейся. Например, последовательность
1, -1, 1, -1, … - ограничена, но не является
сходящейся. В самом деле, если бы эта
последовательность сходилась к некоторому
числу а, то каждая из последовательностей
{x n -a}
и {x n+1 -a}
являлась бы бесконечно малой. Но тогда
(по теореме: Разность бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно
малая последовательность.) {(x n -a)
– (x n+1 -a)}={x n –
x n+1 }
была бы бесконечно малой, что невозможно
т.к. |x n –
x n+1 |
= 2 для любого номера n. ТЕОРЕМА:
Сумма сходящихся последовательностей
{х n }
и {y n }
есть сходящаяся последовательность,
предел которой равен сумме пределов
последовательностей {х n }
и {y n }. Доказательство:
Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {х n }
и {y n }.
Тогда: x n =а+a n ,
y n =b+b n , где
{a n }
и {b n)
– бесконечно малые последовательности.
Следовательно, (х n +
y n)
- (а + b) =a n +b n . Таким
образом, последовательность {(х n +
y n)
- (а + b)} бесконечно малая, и поэтому
последователдьность {х n +
y n }
сходится и имеет своим пределом число
а+b. Теорема доказана.
Допустим
противное. Пусть существует такая
последовательность x n ,
n = 1, 2, ..., что=a
и =b,
причем a b, a , b .
Возьмем какие-либо непересекающиеся
окрестности U = U(а)
и V = V(b)
точек а и b (рис. 49): U V = .
Согласно определению предела вне
окрестностиU точки а,
в частности в окрестности V точки b,
содержится лишь конечное число членов
последовательности {x n }.
Однако точка b также
является ее пределом, и потому в ее
окрестности Vдолжны
находиться все члены последовательности
{x n },
начиная с некоторого номера, а
следовательно, бесконечно много ее
членов. Получилось противоречие.
Рис.
49
,
причем крайние переменные имеют
одинаковый конечный предел,
тогда переменнаятакже
имеет предел, причем тот же самый.
и 
18.Бесконечно- малые величины и их свойства. Теорема о структуре сходящейся прямой.